質問＜１６１３＞２００４／２／２８
from=香
「今年の入試問題」

aを実数とし、関数f(x)=(2x-3)log(a-x)を考える。次の問いに答えよ。
（1）f(x)≧0を満たすxの範囲を求めよ。
（2）a=1のとき、f(x)は増加関数であることを示し、
　　f(x)のグラフの凹凸、変曲点を調べて、そのグラフの概形をかけ。

お便り２００４／３／１７
from=wowow

(1)真数条件よりx＜a  f(x)≧0より(2x-3)log(a-x)≧0
　Ⅰ)x＜3/2のとき 2x-3＜0よりlog(a-x)≦0となればよいの
　　 　　　　　　で0＜a-x≦1よってxはx＜aかつx＜3/2かつ
　　　　　　　　 a-1≦x＜aを満たせばよい　従って
　　　　　　　　 a≦3/2のときa-1≦x＜a
                3/2＜x＜5/2のときa-1≦x＜3/2
　　　　　　　　 a≧5/2のときxの範囲は存在しない
　Ⅱ)x=3/2のとき 2x-3=0よりlog(a-x)が存在すればよい
　　　　　　　　 のでx＜aよってxはx＜aかつx=3/2を満た
　　　　　　　　 せばよい　従って
　　　　　　　　 a≦3/2のときxの範囲は存在しない
　　　　　　　　 a>3/2のときx=3/2
　Ⅲ)x>3/2のとき 2x-3>0よりlog(a-x)≧0となればよいの
　　 　　　　　　でa-x≧1よってxはx＜aかつx>3/2かつ
　　　　　　　　 x≦a-1を満たせばよい　従って
　　　　　　　　 a＜5/2のとき3/2＜x≦a-1
　　　　　　　　 5/2≦aのときxの範囲は存在しない
　Ⅰ)Ⅱ)Ⅲ)より　a≦3/2のとき　　　　　a-1≦x＜a
　　　　　　　　 3/2＜a＜5/2のとき　　　a-1≦x≦3/2
                 a≧5/2のとき　　　　　3/2≦x≦a-1

(2)a=1のときf(x)=(2x-3)log(1-x) (真数条件よりx＜1)
　f'(x)=2log(1-x)+(2x-3)/(x-1)
       =2log(1-x)+2-1/(x-1)
  f''(x)=2/(x-1)+1/(x-1)^2
       =(2x-1)/(x-1)^2
  f'(x)の増減はx＜1において
　
　　x    …    1/2    …   (1)
　f''(x)  －     0     +    －
　f'(x) 減少 4-2log2 増加   －

　よってf'(x)はx=1/2のとき最小となり最小値4-2log2を　とる
　ここで4-2log2=2(loge^2-log2)>0となるのでf'(x)>0
  従ってf(x)は増加関数
　f'(x)の正負よりx＜1/2のとき上に凸,1/2>xのとき下に凸
  変曲点(1/2,4-2log2)
  x→-∞のときf(x)→-∞,x→1-0のときf(x)→+∞なので
　グラフは(略)