質問<1613>2004/2/28
aを実数とし、関数f(x)=(2x-3)log(a-x)を考える。次の問いに答えよ。 (1)f(x)≧0を満たすxの範囲を求めよ。 (2)a=1のとき、f(x)は増加関数であることを示し、 f(x)のグラフの凹凸、変曲点を調べて、そのグラフの概形をかけ。
お便り2004/3/17
from=wowow
(1)真数条件よりx<a f(x)≧0より(2x-3)log(a-x)≧0 Ⅰ)x<3/2のとき 2x-3<0よりlog(a-x)≦0となればよいの で0<a-x≦1よってxはx<aかつx<3/2かつ a-1≦x<aを満たせばよい 従って a≦3/2のときa-1≦x<a 3/2<x<5/2のときa-1≦x<3/2 a≧5/2のときxの範囲は存在しない Ⅱ)x=3/2のとき 2x-3=0よりlog(a-x)が存在すればよい のでx<aよってxはx<aかつx=3/2を満た せばよい 従って a≦3/2のときxの範囲は存在しない a>3/2のときx=3/2 Ⅲ)x>3/2のとき 2x-3>0よりlog(a-x)≧0となればよいの でa-x≧1よってxはx<aかつx>3/2かつ x≦a-1を満たせばよい 従って a<5/2のとき3/2<x≦a-1 5/2≦aのときxの範囲は存在しない Ⅰ)Ⅱ)Ⅲ)より a≦3/2のとき a-1≦x<a 3/2<a<5/2のとき a-1≦x≦3/2 a≧5/2のとき 3/2≦x≦a-1 (2)a=1のときf(x)=(2x-3)log(1-x) (真数条件よりx<1) f'(x)=2log(1-x)+(2x-3)/(x-1) =2log(1-x)+2-1/(x-1) f''(x)=2/(x-1)+1/(x-1)^2 =(2x-1)/(x-1)^2 f'(x)の増減はx<1において x … 1/2 … (1) f''(x) - 0 + - f'(x) 減少 4-2log2 増加 - よってf'(x)はx=1/2のとき最小となり最小値4-2log2を とる ここで4-2log2=2(loge^2-log2)>0となるのでf'(x)>0 従ってf(x)は増加関数 f'(x)の正負よりx<1/2のとき上に凸,1/2>xのとき下に凸 変曲点(1/2,4-2log2) x→-∞のときf(x)→-∞,x→1-0のときf(x)→+∞なので グラフは(略)