質問<1619>2004/3/6
はじめまして、質問お願いします。 剰余の定理のことで、 整式P(x)を(x-a)で割った時の商をQ(x)、余りR(x)をとすると、 P(x)=(x-a)Q(x)+R(x) となり、 x=aを代入すると、 P(a)=R(a)となり、 P(x)を(x-a)で割った余りはR(a) になるのはわかるのですが、 もとの操作をたどると、 P(x)/(x-a)なので、 x=aを代入すると、 整式を0で割ることになり、定義されないのではないですか? 納得のいく考え方がどうしても出てこないので教えてください、 宜しくお願いします。
お便り2004/3/9
from=naoya
剰余定理により P(x)=(x-a)Q(x)+R(x)にx=aを代入すること…(*)と、 P(a)/(a-a)はぜんぜん違います。 (*)⇔P(x)を(x-a)で割ること であって、さらにそこにx=aを代入することとはそもそも違います。 全くもとの操作をたどっていないので、見当違いだと思います。
お便り2004/3/11
from=naoya
すみません、僕のほうがとんでもなく見当違いでした。 ヨッチさんのおっしゃるとおり、剰余の定理で用いているQ(x),Rは それぞれP(x)を(x-a)で割った商と余りなので、 P(x)/(x-a)=Q(x)+R/(x-a) だから、この式にx=aを代入すると0で割る ことになり、定義されないのではないか?ということ、ですよね? 確かにそうなのですが、剰余の定理においては、実際に割り算を行って 剰余を考えているわけではありません。 整式P(x)について、 P(x)=(x-a)A(x)+B ・・・① のようにxについて恒等的に成り立つような整式A(x)と定数Bを考え、 ①にx=aを代入すると、P(a)=Bとなります。 ここで、A(x)とBはどんな数であるかと実際に考えると、 整式P(x)を(x-a)で割った商Q(x)と余りRなので、A(x)=Q(x)、B=Rとして、 P(x)=(x-a)Q(x)+R これにx=aを代入してP(a)=Rだ、というのが剰余の定理です。 なので、剰余の定理では、実際にP(x)を(x-a)で割り算をして剰余を考えて いるわけではなく、恒等式①を満たすA(x)とBを考えるためP(x)/(x-a)を考えた、 ということだと思います。 大変失礼いたしました。