質問<1640>2004/3/21
xy平面上の4点 (2,0) (0,2) (-2,0) (0,-2) をそれぞれ中心とする半径 r の円が4個あり、 どの円も両隣の円と互いに外接している。 これらの円で囲まれる図形(円の内部を含まない) を D とするとき、次の各問に答えよ。 (1) r を求めよ。 (2) D の面積を求めよ。 (3) D を x軸のまわりに回転して得られる立体の 体積を求めよ。 今年の杏林大学医学部の入試問題です。 原文通りです。 (1) r=√2 (2) 2(4-π) (3) が分かりません。宜しくお願いします。
お便り2004/5/10
from=BossF
(3)(素直に計算します) まず、対称性より第1象限の領域をx軸に関して回転させたものを 2倍すればいいことに注意します x^2+(y-2)^2=2→y=-√(2-x^2)+2(注1)→y^2=6-x^2-4√(2-x^2) (注1;領域を囲む部分を考え、根号は負の方を取ります) (x-2)^2+y^2=2→y^2=2-(x-2)^2 より V/2π=∫(0to1){6-x^2-4√(2-x^2)}dx-∫(2-√2to1){2-(x-2)^2}dx 問題は∫(0to1)√(2-x^2)dxの部分だと思いますが x=√2・sinθ と置換すると 積分区間は x=0to1→θ=0toπ/4 被積分関数 √(2-x^2)→√2cosθ (注;積分区間から、cosは正) また、 dx=√2cosθ・dθ だから ∫(0to1)√(2-x^2)dx=∫(0to π/4)√2・(cosθ)^2・dθ =√2∫(0to π/4)(1+cos2θ)/2dθ =[θ/2+sin2θ/4](0to π/4)=π/8+1/4 また、 ∫(0to1)(6-x^2)dx-∫(2-√2to1){2-(x-2)^2}dx =[6x-x^3/3](0to1)-[2x-(x-2)^3/3](2-√2to1) =・・・ として、あとひたすら計算 結局、答は 25/6-4√2-π/2 ←あってるかな?(^^;;