質問<1660>2004/4/2
χ>0、y>0、z>0の範囲で χ/4+y/χ+z/y+1/zの最小値を求めよ。 また、その時のχ、y、zの値を求めよ。 答えはχ=2√2、y=2、z=√2のとき最小値2√2です。 全然分からないので、宜しくお願いします。
お便り2004/4/4
from=naoya
相加・相乗平均の関係を3回使います。 x>0, y>0, z>0より相加・相乗平均の関係から x/4 + y/x ≧ 2√(y/4) (x/4 = y/xのとき等号成立) z/y + 1/z ≧ 2√(1/y) (z/y = 1/zのとき等号成立) が成り立ち、これを辺々加えて x/4 + y/x + z/y + 1/z ≧ 2√(y/4) + 2√(1/y) この式の右辺について、相加・相乗平均の関係より 2√(y/4) + 2√(1/y) ≧ 2√{4√(1/4)} = 2√2 (2√(y/4) = 2√(1/y) つまり y=2のとき等号成立)であるから、 x/4 + y/x + z/y + 1/z ≧ 2√2 (x=2√2, y=2, z=√2のとき等号成立) ゆえにx=2√2, y=2, z=√2のとき最小値2√2
お便り2004/4/6
from=山賊
相加相乗平均の関係より x/4+y/x+z/y+1/z ≧4*{(x/4)*(y/x)*(z/y)*(1/z)}^(1/4) =4*(1/4)^(1/4)=2√2 等号成立は x/4=y/x=z/y=1/z すなわち x=2√2,y=2,z=√2の時
お便り2004/4/6
from=こんにちは
相加・相乗平均の不等式より x/4+y/x+z/y+1/z ≧4*(^4√{(x/4)*(y/x)*(z/y)*(1/z)}) =4/√2=2√2 等号が成立するのは x/4=y/x=z/y=1/zが成立するときのみ よって x^2=4y…(1) y=z^2…(2) xz=4…(3) が成立する。 (1)に(2)を代入して x^2=4z^2 よりx=2z…(3) よって2z^2=4 よってz=√2 (2)に代入してy=2 (3)に代入してx=2√2 よって、 x=2√2、y=2、z=√2のとき、等号が成立することがわかる。 よって、 x/4+y/x+z/y+1/zはx=2√2、y=2、z=√2のとき 最小値2√2をとる。