質問＜１６６０＞２００４／４／２
from=mon
「最小値」

χ＞０、ｙ＞０、ｚ＞０の範囲で
χ/４+ｙ/χ+ｚ/ｙ+１/ｚの最小値を求めよ。
また、その時のχ、ｙ、ｚの値を求めよ。

答えはχ＝２√２、ｙ＝２、ｚ＝√２のとき最小値２√２です。
全然分からないので、宜しくお願いします。

お便り２００４／４／４
from=naoya

相加・相乗平均の関係を3回使います。

x>0, y>0, z>0より相加・相乗平均の関係から
x/4 + y/x ≧ 2√(y/4)  (x/4 = y/xのとき等号成立)
z/y + 1/z ≧ 2√(1/y)  (z/y = 1/zのとき等号成立)
が成り立ち、これを辺々加えて
x/4 + y/x + z/y + 1/z ≧ 2√(y/4) + 2√(1/y)
この式の右辺について、相加・相乗平均の関係より
2√(y/4) + 2√(1/y) ≧ 2√{4√(1/4)} = 2√2
(2√(y/4) = 2√(1/y) つまり y=2のとき等号成立)であるから、
x/4 + y/x + z/y + 1/z ≧ 2√2
(x=2√2, y=2, z=√2のとき等号成立)

ゆえにx=2√2, y=2, z=√2のとき最小値2√2

お便り２００４／４／６
from=山賊

相加相乗平均の関係より
x/4+y/x+z/y+1/z
≧4*{(x/4)*(y/x)*(z/y)*(1/z)}^(1/4)
=4*(1/4)^(1/4)=2√2
等号成立は
x/4=y/x=z/y=1/z
すなわち
x=2√2,y=2,z=√2の時

お便り２００４／４／６
from=こんにちは

相加・相乗平均の不等式より
x/４+ｙ/x+ｚ/ｙ+１/ｚ
≧4*(^4√{(x/４)*(ｙ/x)*(ｚ/ｙ)*（１/ｚ)})
=4/√2=2√2

等号が成立するのは
x/４＝ｙ/x＝ｚ/ｙ＝１/ｚが成立するときのみ

よって
x^2=4y…(1)
y=z^2…(2)
xz=4…(3)
が成立する。

(1)に(2)を代入して
x^2=4z^2
よりx=2z…(3)

よって2z^2=4

よってz=√2
(2)に代入してy=2
(3)に代入してx=2√2

よって、
x＝２√２、ｙ＝２、ｚ＝√２のとき、等号が成立することがわかる。

よって、
x/４+ｙ/x+ｚ/ｙ+１/ｚはx＝２√２、ｙ＝２、ｚ＝√２のとき
最小値2√2をとる。