質問<1782>2004/7/3
次の2題が上手く方針が立てられなくて困っています。 どうか解法の手がかりを宜しくお願いします。 問題:次の曲面を求めよ。 ①2点(1,0,0),(-1,0,0)からの距離の和が 2Hである点(x,y,z)たちの作る曲面を求めよ。 ②2点(1,0,0),(-1,0,0)からの距離の差の 絶対値が2hである点(x,y,z)たちの作る曲面を求めよ。
お便り2004/7/7
from=phaos
(1) 条件から H > 1. √((x - 1)^2 + y^2 + z^2) + √((x + 1)^2 + y^2 + z^2) = 2H. √((x - 1)^2 + y^2 + z^2) = 2H - √((x + 1)^2 + y^2 + z^2). (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 4H^2 + (x + 1)^2 + y^2 + z^2 - 4H√((x + 1)^2 + y^2 + z^2). 4H√((x + 1)^2 + y^2 + z^2) = 4H^2 + 4x. H√((x + 1)^2 + y^2 + z^2) = H^2 + x. H^2((x + 1)^2 + y^2 + z^2) = x^2 + 2H^2x + H^4. (H^2 - 1)x^2 + H^2y^2 + H^2z^2 = H^4 - H^2. (2) 三角不等式から 0 < h ≦ 1. |√((x - 1)^2 + y^2 + z^2) - √((x + 1)^2 + y^2 + z^2)| = 2h. √((x - 1)^2 + y^2 + z^2) - √((x + 1)^2 + y^2 + z^2) = ±2h. √((x - 1)^2 + y^2 + z^2) = √((x + 1)^2 + y^2 + z^2) ± 2h. (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 4h^2 + (x + 1)^2 + y^2 + z^2 ± 4h√((x + 1)^2 + y^2 + z^2). (以下同様にして) (h^2 - 1)x^2 + h^2y^2 + h^2z^2 = h^4 - h^2. ((1) と同じ答えに見えるが, 実は符号が違う) 因みに (1) は楕円面。 (2) は (0 < h < 1 のとき) 回転双曲面。