質問＜１７８２＞２００４／７／３
from=T
「空間図形（曲面の方程式）」

　次の２題が上手く方針が立てられなくて困っています。
どうか解法の手がかりを宜しくお願いします。

問題：次の曲面を求めよ。

①２点（１，０，０),(－１,０,０)からの距離の和が
　２Hである点（ｘ，ｙ，ｚ）たちの作る曲面を求めよ。

②２点（１，０，０),(－１,０,０)からの距離の差の
　絶対値が２ｈである点（ｘ，ｙ，ｚ）たちの作る曲面を求めよ。

お便り２００４／７／７
from=phaos

(1)
条件から H > 1.
√((x - 1)^2 + y^2 + z^2) + √((x + 1)^2 + y^2 + z^2) = 2H.
√((x - 1)^2 + y^2 + z^2) = 2H - √((x + 1)^2 + y^2 + z^2).
(x - 1)^2 + y^2 + z^2
 = 4H^2 + (x + 1)^2 + y^2 + z^2 - 4H√((x + 1)^2 + y^2 + z^2).
4H√((x + 1)^2 + y^2 + z^2) = 4H^2 + 4x.
H√((x + 1)^2 + y^2 + z^2) = H^2 + x.
H^2((x + 1)^2 + y^2 + z^2) = x^2 + 2H^2x + H^4.
(H^2 - 1)x^2 + H^2y^2 + H^2z^2 = H^4 - H^2.

(2) 三角不等式から 0 ＜ h ≦ 1.
|√((x - 1)^2 + y^2 + z^2) - √((x + 1)^2 + y^2 + z^2)| = 2h.
√((x - 1)^2 + y^2 + z^2) - √((x + 1)^2 + y^2 + z^2) = ±2h.
√((x - 1)^2 + y^2 + z^2) = √((x + 1)^2 + y^2 + z^2) ± 2h.
(x - 1)^2 + y^2 + z^2 
= 4h^2 + (x + 1)^2 + y^2 + z^2 ± 4h√((x + 1)^2 + y^2 + z^2).
(以下同様にして)
(h^2 - 1)x^2 + h^2y^2 + h^2z^2 = h^4 - h^2.
((1) と同じ答えに見えるが, 実は符号が違う)

因みに (1) は楕円面。
(2) は (0 ＜ h ＜ 1 のとき) 回転双曲面。