質問<1835>2004/8/2
楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1上の点と2焦点の距離の和は一定であることを 以下の方針で示せ。ただしa>bと仮定し、 e=√(1-b^2/a^2)とする。 (1)楕円上の点(acosθ,bsinθ)と2焦点の距離の和Lをa,b,e,θを用いて表せ。 (2)Lを簡単にせよ。 ちょっとやってみました。 (1)x^2/a^2+y^2/b^2=1の2焦点はa>bなので (±√(a^2+b^2,0) L=√{(a^2-b^2)(cosθ)^2-2acosθ√(a^2-b^2)+a^2} +√{(a^2-b^2)(cosθ)^2+2acosθ√(a^2-b^2)+a^2} ここで、e=√(1-b^2/a^2)=√(a^2-b^2)/a ∴√(a^2-b^2)=ae a^2-b^2=a^2*e^2 ∴L=√{a^2*e^2(cosθ)^2-2a^2cosθ+a^2} +√{a^2*e^2(cosθ)^2+2a^2cosθ+a^2} =√{(aecosθ-a)^2}+√{(aecosθ+a)^2} =2aecosθ としたのですが良いのでしょうか。 さらに、(2)がわかりません。
お便り2004/8/3
from=UnderBird
from UnderBird (1) 最後の1行が誤りです。 e=√(1-b^2/a^2)から、0≦e≦1で-1≦cosθ≦1より、ecosθ-1≦0 √(aecosθ-a)^2=a|ecosθ-1|=-a(ecosθ-1)となる。 2項目については、ecosθ+1>=0より √{(aecosθ+a)^2}=a|ecosθ+1|=a(ecosθ+1) よってL=2a(一定)といえます。 (1)と(2)でどこまでを(1)にするか不明ですが、・・・・