質問

　はじめまして、三重県の千田と申します。
じつは、以前から疑問に思っていることがありまして。
どうかよろしくお願いいたします。
　ベクトルで内積を勉強しますが、なぜ、内積という概念が
あるのでしょうか？単なる計算の便宜上から考え出されたも
のなのでしょうか。それとも実用面でちゃんとした意義のあ
るものなんでしょうか。できれば、幾何学的表現と成分表示
の両面から説明をしていただければ幸いです。

お返事９９／１１／７
from=武田

（幾何学的表現の面）
→　→　　→　　→
ａ・ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cosθ
　→
｜ａ｜はベクトルの大きさ、θは２つのベクトルの間の角度
を表している。　　　　　→　　　　　　　→
この内積の公式のうち、｜ａ｜ｃｏｓθは、ｂ方向の線上に
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→
できる影の長さにあたります。その長さと｜ｂ｜の積だから
意味づけるとしたら、力の大きさと進む距離の積でしょう。
ベクトルａが力で、ベクトルｂが移動を表すと、内積は力を
出して進む「労働」を表すことになります。内積が大きいほ
ど「労働」の大きさが大きいことを表します。
しかし、数学ではあまり量と関連づけることが少ないので、
意味は理解しがたいものとなります。

（成分表示の面）
→　　　　→
ａを単価、ｂを個数とすると、
→
ａ＝（ａ₁，ａ₂）
→
ｂ＝（ｂ₁，ｂ₂）
成分表示した内積は
→　→
ａ・ｂ＝ａ₁ｂ₁＋ａ₂ｂ₂
となるが、５０円／本×５本＋８０円／冊×６冊＝７３０円
の例が示すとおり、内積は買い物の合計金額を表しています。

こういう風に考えていくと、数学では何も意味がないように
思える内積が、現実の量の世界ではいろいろと意味を持って
来ることが分かります。ちょうど小学校のかけ算の時のよう
です。暗算ではなく、意味を考えながらかけ算をするとわか
りやすくなります。
１あたり量×いくつ分＝全体量