質問＜１９５＞９９／１１／１８
from=かっち
「連珠の円」

こんにちは！「かっち」です。
先日はどうもありがとうございました。
今日もまた分からない問題があったので力になっていただけ
ないかとメールしました。
どうかよろしくお願いします。

問題　：　半径の等しいｎ個の円Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎが
半径１の円Ｃに内接し、Ｃ１とＣ２，Ｃ２とＣ３，…，
Ｃｎ-１とＣｎ，ＣｎとＣ１がそれぞれ外接しているものと
する。半径の等しいｎ個の円の半径をＲｎとするとき、以下
の問いに答えよ。

（１）ｌｉｍ（ｎＲｎ）＝πを示せ。
　　　ｎ→∞

（２）（ア）θ＞０のとき、ｓｉｎθ＞θ-θ（三乗）／６が
　　　　　　成り立つことを示せ。

　　　（イ）（ア）を用いて、ｌｉｍ｛ｎ（π-ｎＲｎ）｝を
　　　　　　求めよ。　　　　ｎ→∞

＜ヒント＞
（１）　Ｒｎ＝{ｓｉｎ（π／ｎ）}／｛１＋ｓｉｎ（π／ｎ）｝

お返事９９／１１／２０
from=武田

（１）内接する１つの円の幅の角度は２π／ｎ
その真ん中を通る接線の角度はθ＝２π／ｎ÷２＝π／ｎ
接線は直角になるからｓｉｎθ＝Ｒｎ／（１－Ｒｎ）
変形して、
Ｒｎ＝ｓｉｎθ／（１＋ｓｉｎθ）
　　＝ｓｉｎ（π／ｎ）／｛１＋ｓｉｎ（π／ｎ）｝

　　　　　ｓｉｎ（π／ｎ）　　　　　　π
ｎ・Ｒｎ＝────────×────────────
　　　　　　（π／ｎ）　　　｛１＋ｓｉｎ（π／ｎ）｝

　　　　　　　　　　　　　　sin(π/n)　　　　π
ｌｉｍ（ｎ・Ｒｎ）＝ｌｉｍ　─────×───────
ｎ→∞　　　　　　　π/n→0　(π/n)　　　{1+sin(π/n)}

　　　　　　　　　＝１×π／{1+0}＝π……（答）

（２）（ア）は、この図には関係なくマクローリン展開から
求められる。
sinθ＝θ－θ3／３！＋θ5／５！－……

　　　　　　　　　θ2n-1
lim　（－１）n-1──────＝０より、
n→∞　　　　　（２ｎ－１）！

sinθ≒θ－θ3／３！＋θ5／５！
したがって、θ＞０より、
sinθ＞θ－θ3／３！
∴sinθ＞θ－θ3／６
この連珠の円に関連させながら、マクローリン展開を使わな
いで、この式を出すのは不明！！！

（２）（イ）（ア）を用いて、ｌｉｍ｛ｎ（π-ｎＲｎ）｝を
　　　　　　　　　　　　　　ｎ→∞
求める方法について関谷先生からアドバイスを頂きました。
下に掲載します。

お便り９９／１１／２３
from=Toshio Sekiya

こんにちは。質問１９５の（２）の（イ）です
 
分かり易いように、π／ｎ＝θと置きます。
ｎ→∞　のとき、θ→０　です。
ｎ＝π／θとなるので、
 
ｎ（π－ｎ・Ｒｎ）
＝（π／θ）｛π－（π／θ）Ｒｎ｝
＝π2（θ－Ｒｎ）／θ2
＝π2｛θ－sinθ／（１＋sinθ）｝／θ2
＝π2（θ＋θsinθ－sinθ）／θ2（１＋sinθ）
＝π2{θsinθ/θ2＋(θ－sinθ)/θ2}/(１＋sinθ)
＝π2{sinθ/θ＋(θ－sinθ)/θ2}/(１＋sinθ)
｛｝の中の第１項sinθ/θは、θ→０　のとき、１になる。
｛｝の中の第２項(θ－sinθ)/θ2は（ア）より、
０＜θ－sinθ＜θ3／６　だから、
０＜(θ－sinθ)/θ2＜θ3／６θ2＝θ／６
不等式の両側は０に収束するから、中辺も０に収束する。
以上から、
ｌｉｍ　ｎ（π－ｎ・Ｒｎ）＝π2……（答）
ｎ→∞