質問<195>99/11/18
こんにちは!「かっち」です。 先日はどうもありがとうございました。 今日もまた分からない問題があったので力になっていただけ ないかとメールしました。 どうかよろしくお願いします。 問題 : 半径の等しいn個の円C1,C2,…,Cnが 半径1の円Cに内接し、C1とC2,C2とC3,…, Cn-1とCn,CnとC1がそれぞれ外接しているものと する。半径の等しいn個の円の半径をRnとするとき、以下 の問いに答えよ。 (1)lim(nRn)=πを示せ。 n→∞ (2)(ア)θ>0のとき、sinθ>θ-θ(三乗)/6が 成り立つことを示せ。 (イ)(ア)を用いて、lim{n(π-nRn)}を 求めよ。 n→∞ <ヒント> (1) Rn={sin(π/n)}/{1+sin(π/n)}
お返事99/11/20
from=武田
(1)内接する1つの円の幅の角度は2π/n その真ん中を通る接線の角度はθ=2π/n÷2=π/n 接線は直角になるからsinθ=Rn/(1-Rn) 変形して、 Rn=sinθ/(1+sinθ) =sin(π/n)/{1+sin(π/n)} sin(π/n) π n・Rn=────────×──────────── (π/n) {1+sin(π/n)} sin(π/n) π lim(n・Rn)=lim ─────×─────── n→∞ π/n→0 (π/n) {1+sin(π/n)} =1×π/{1+0}=π……(答) (2)(ア)は、この図には関係なくマクローリン展開から 求められる。 sinθ=θ-θ3/3!+θ5/5!-…… θ2n-1 lim (-1)n-1──────=0より、 n→∞ (2n-1)! sinθ≒θ-θ3/3!+θ5/5! したがって、θ>0より、 sinθ>θ-θ3/3! ∴sinθ>θ-θ3/6 この連珠の円に関連させながら、マクローリン展開を使わな いで、この式を出すのは不明!!! (2)(イ)(ア)を用いて、lim{n(π-nRn)}を n→∞ 求める方法について関谷先生からアドバイスを頂きました。 下に掲載します。
お便り99/11/23
from=Toshio Sekiya
こんにちは。質問195の(2)の(イ)です 分かり易いように、π/n=θと置きます。 n→∞ のとき、θ→0 です。 n=π/θとなるので、 n(π-n・Rn) =(π/θ){π-(π/θ)Rn} =π2(θ-Rn)/θ2 =π2{θ-sinθ/(1+sinθ)}/θ2 =π2(θ+θsinθ-sinθ)/θ2(1+sinθ) =π2{θsinθ/θ2+(θ-sinθ)/θ2}/(1+sinθ) =π2{sinθ/θ+(θ-sinθ)/θ2}/(1+sinθ) {}の中の第1項sinθ/θは、θ→0 のとき、1になる。 {}の中の第2項(θ-sinθ)/θ2は(ア)より、 0<θ-sinθ<θ3/6 だから、 0<(θ-sinθ)/θ2<θ3/6θ2=θ/6 不等式の両側は0に収束するから、中辺も0に収束する。 以上から、 lim n(π-n・Rn)=π2……(答) n→∞