質問

はじめまして。大学の過去問をしていたのですが解答がついていなかった
ので正解がわかりません。教えてください。よろしくお願いします。

１．
図形の広さを測る量として面積がある。長方形の面積は隣り合う辺の
長さをａ，ｂとするとａ×ｂでもとめられる。
　(1)たとえば1/2（ａ＋ｂ）とかａ２×ｂ２（二乗で
　　　す）は面積を測る量として不適当な理由を説明
　　　しなさい。
　(2)ａ×ｂが長方形の面積を測る量として適当である
　　　ことを説明しなさい。

２．
ａ，ｂがどのような実数でもａ≠ｂである限りａとｂの間には有理数が
存在する。０＜ａ＜ｂとする。
　(1)a,bがともに有理数であるとき、ａ＜ｘ＜ｂをみ
　　　たす有理数が存在することを説明しなさい。
　(2)４＜ｙ＜√１７をみたす有理数ｙが存在すること
　　　を説明しなさい。
　(3)a,bのうち少なくともひとつが無理数であると
　　　き、ａ＜ｚ＜ｂを満たす有理数ｚが存在するこ
　　　とを説明しなさい。

３．
２行２列のます目に、隣り合うます目が同色とならないように色を塗る。
　(1)赤と青の２色で塗るとき、何通りの塗り方がある
　　　か。理由も述べなさい。
　(2)赤、青、黄の３色で塗るとき、何通りの塗り方が
　　　あるか。理由も述べなさい。
　(3)一般に、ｋ色（ｋ≧３）を用いて塗るとき何通り
　　　の塗り方があるか。理由も述べなさい。

４．
　(1)1/3+1/4≧1/2、∑1/k≧1/2（∑の上は８，下はｋ
　　　＝５）、∑1/k≧1/2（∑の上は１６、下はｋ＝
　　　９）の不等式が成り立つことを示しなさい。
　(2)Sn＝∑1/k（∑の上はｎ、下はｋ＝１）とおく。
　　　SN０≧１０となるｎ０を一つ求めなさい。また
　　　このことを参考にして、ｎが大きくなるにつれ
　　　てＳｎがどう変わっていくかいくつかを論述し
　　　なさい。

★希望★完全解答★

お便り２００４／９／３０
from=juin

1.
（１）
図形Aの面積をm(A)で表す。次のような性質を持つと考えられる。
(1)m(A)≧0,Aが点や線の場合は、m(A)=0
(2)A⊂Bならばm(A)≦m(b)
(3)A∩B=φならばm(A∪B)=m(A)+m(B)
長方形の面積を(a+b)/2とした場合。
縦１、横１の正方形の面積は(1+1)/2=1
これをきりはりして、縦1/2,横2の長方形を作ると面積は(1/2+1)/2=3/4
これは、良く無い。
長方形の面積をa^2×b^2とした場合
縦１、横１の正方形の面積は(1*1)^2=1
これを２つに切り、縦1/2,横1の長方形を作ると、
１つの面積は[(1/2)*1]^2=1/4
2つで1/2
これは良く無い。

（２）面積m(A)=a×bとすると、性質(1)(2)(3)を満たす。

お便り２００４／１０／１２
from=JJon.com

数学に関してはシロウトです。間違いがあったら指摘してください。

３．
２行２列のます目を次のように名づける。
　　A1 B1
　　A2 B2
図形の回転は考えない。
同色にできるのは A1B2 の組，または，A2B1 の組のみ。
なので１色だけで塗ることはできない。

(1)
A1B2,A2B1 の２領域を２色で塗る順列。＝２！＝２通り。

(2)
３色中の２色だけ使って A1B2,A2B1 の２領域を塗る順列。＝３×２！
A1B2,A2,B1 の３領域を３色で塗る順列。＝３！
A2B1,A1,B2 の３領域を３色で塗る順列。＝３！
以上の総和で１８通り。

(3)
A1,A2,B1,B2 の４領域を４色で塗る順列。＝４！ なので，

２色で塗る場合…ｋ色中２色の組合せ×２！
３色で塗る場合…ｋ色中３色の組合せ×３！×２
４色で塗る場合…ｋ色中４色の組合せ×４！
の総和で求められる。

お便り２００４／１０／１６
from=JJon.com

数学に関してはシロウトです。
基本的な公式や解法はぜんぜん分かりませんので，イメージで答えを
出してみました。
スマートな定番の解き方が他にあるでしょうから，ご存知のかた教え
てくださいませ。

４．
(1)
1/2 ＝ 1/4 + 1/4
    ≦ 1/3 + 1/4

1/2 ＝ 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8
    ≦ 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8

1/2 ＝ 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16
    ≦ 1/9  + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16

(2)
ｎ＝２^0＝１ のとき，
　　Ｓn ＝ 1/1
　　　　＝ １

ｎ＝２^2＝４ のとき，
　　Ｓn ＝ 1/1 + 1/2 + (1/3 + 1/4)
　　　　＝ 1/1 + 1/2 + (1/2 以上)
　　　　≧ ２

ｎ＝２^4＝16 のとき，
　　Ｓn ＝ 1/1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (... + 1/8) + (... + 1/16)
　　　　＝ 1/1 + 1/2 + (1/2 以上)  + (1/2 以上)  + (1/2 以上)
　　　　≧ ３

上記の規則性から「ｎ＝２^18 は，Ｓn≧10 となるｎの１つである」と言える。
これらの式の形を参考にすると，
ｎが大きくなるにつれＳnも限りなく増えていくと予想できる。

お便り２００４／１０／１７
from=honda

２．
(1)
(a+b)/2が条件を満たす有理数である

(2)
\sqrt{17}＞4.2であるのでy=4.2とすればよい

(3)
aとbはともに正の数であるとしてよい
なぜなら，
a，bが異符号ならば0が条件を満たす有理数であり，
a，bがともに負であれば(-1)倍することで
ともに正の場合に還元できる．

さらに，0＜a＜z＜b＜1であると仮定してよい
なぜなら，aとbの間に自然数があれば
その自然数を求める有理数とすればよい．
ここでまず，aが無理数であると仮定する．
さて，このとき，
aを小数表示したときの小数第n位の数をa_n，
bを小数表示したときの小数第n位の数をb_n
とする．
aとbは異なるので，ある自然数kで
a_kとb_kは異なるものがある．
このようなkのうち最小のものを改めてkとおく．
0.a_1a_2...a_{k-1}a_{k}999999......
が求める有理数である．

次にaが有理数であると仮定する．
bは無理数であるとしてよい．上記と同じ記法で
b_k=0であることはないことに注意すると
c=b_k-1とすると，
0.b_1b_2....b_{k-1}c9999999999
が求める有理数である．

こんな感じでどうでしょう．
＃面白かったので
＃つい調子にのってしまいました(^^;;

お便り２００４／１０／１８
from=UnderBird

４
(1)1/3+1/4>1/4+1/4=1/2
∑[k=5・・8]1/k>1/8+1/8+1/8+1/8=1/2
∑[k=9・・16]1/k>(1/16)×8=1/2

(2)1+(1/2)×N≧10を満たすもの。仮にN =18群とする。
S(2^18)=1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+・・・+1/16)+・・・+
（1/(2^17+1)+・・・+1/(2^18)）
     >1+(1/2)+(1/2)+(1/2)+・・・+(1/2)=1+(1/2)×18=10より
N０=2^18
また、S(2^k)>1+(1/2)×kであるから、ｎがおおきくなるにつれ、ｋも大きくなり、
1+(1/2)×kは無限大に発散するから、Snも無限大に発散する。

２
途中まで
(1)有理数は和に閉じているから、(a+b)/2が条件を満たすものとして必ず存在する。

(2)4＜4+p＜√17となるpを求める。
ただし0＜p＜1とする。
(4+p)^2＜17
16+8p+p^2＜17
p^2+8p＜1
9p^2＜p^2+8p＜1
p＜1/3
よって、仮にp=1/4とすれば、4＜17/4＜17だから、
有理数4＜17/4の間には(1)の間に有理数yが存在する。
すなわち、４＜ｙ＜√１７をみたす有理数ｙが存在する。
(3)(2)に帰着させて、有理数の存在性を導くのだと思います。
最終的に、
「ａ，ｂがどのような実数でもａ≠ｂである限りａとｂの間には
有理数が存在する。」を証明するのですよね。
両方無理数の場合は、両辺から、どちらかの無理数を引けば、
(3)に帰着という流れではないでしょうか。
とちゅうまでで、ごめんなさい。