質問<1973>2004/9/29
はじめまして。大学の過去問をしていたのですが解答がついていなかった ので正解がわかりません。教えてください。よろしくお願いします。 1. 図形の広さを測る量として面積がある。長方形の面積は隣り合う辺の 長さをa,bとするとa×bでもとめられる。 (1)たとえば1/2(a+b)とかa2×b2(二乗で す)は面積を測る量として不適当な理由を説明 しなさい。 (2)a×bが長方形の面積を測る量として適当である ことを説明しなさい。 2. a,bがどのような実数でもa≠bである限りaとbの間には有理数が 存在する。0<a<bとする。 (1)a,bがともに有理数であるとき、a<x<bをみ たす有理数が存在することを説明しなさい。 (2)4<y<√17をみたす有理数yが存在すること を説明しなさい。 (3)a,bのうち少なくともひとつが無理数であると き、a<z<bを満たす有理数zが存在するこ とを説明しなさい。 3. 2行2列のます目に、隣り合うます目が同色とならないように色を塗る。 (1)赤と青の2色で塗るとき、何通りの塗り方がある か。理由も述べなさい。 (2)赤、青、黄の3色で塗るとき、何通りの塗り方が あるか。理由も述べなさい。 (3)一般に、k色(k≧3)を用いて塗るとき何通り の塗り方があるか。理由も述べなさい。 4. (1)1/3+1/4≧1/2、∑1/k≧1/2(∑の上は8,下はk =5)、∑1/k≧1/2(∑の上は16、下はk= 9)の不等式が成り立つことを示しなさい。 (2)Sn=∑1/k(∑の上はn、下はk=1)とおく。 SN0≧10となるn0を一つ求めなさい。また このことを参考にして、nが大きくなるにつれ てSnがどう変わっていくかいくつかを論述し なさい。 ★希望★完全解答★
お便り2004/9/30
from=juin
1. (1) 図形Aの面積をm(A)で表す。次のような性質を持つと考えられる。 (1)m(A)≧0,Aが点や線の場合は、m(A)=0 (2)A⊂Bならばm(A)≦m(b) (3)A∩B=φならばm(A∪B)=m(A)+m(B) 長方形の面積を(a+b)/2とした場合。 縦1、横1の正方形の面積は(1+1)/2=1 これをきりはりして、縦1/2,横2の長方形を作ると面積は(1/2+1)/2=3/4 これは、良く無い。 長方形の面積をa^2×b^2とした場合 縦1、横1の正方形の面積は(1*1)^2=1 これを2つに切り、縦1/2,横1の長方形を作ると、 1つの面積は[(1/2)*1]^2=1/4 2つで1/2 これは良く無い。 (2)面積m(A)=a×bとすると、性質(1)(2)(3)を満たす。
お便り2004/10/12
from=JJon.com
数学に関してはシロウトです。間違いがあったら指摘してください。 3. 2行2列のます目を次のように名づける。 A1 B1 A2 B2 図形の回転は考えない。 同色にできるのは A1B2 の組,または,A2B1 の組のみ。 なので1色だけで塗ることはできない。 (1) A1B2,A2B1 の2領域を2色で塗る順列。=2!=2通り。 (2) 3色中の2色だけ使って A1B2,A2B1 の2領域を塗る順列。=3×2! A1B2,A2,B1 の3領域を3色で塗る順列。=3! A2B1,A1,B2 の3領域を3色で塗る順列。=3! 以上の総和で18通り。 (3) A1,A2,B1,B2 の4領域を4色で塗る順列。=4! なので, 2色で塗る場合…k色中2色の組合せ×2! 3色で塗る場合…k色中3色の組合せ×3!×2 4色で塗る場合…k色中4色の組合せ×4! の総和で求められる。
お便り2004/10/16
from=JJon.com
数学に関してはシロウトです。 基本的な公式や解法はぜんぜん分かりませんので,イメージで答えを 出してみました。 スマートな定番の解き方が他にあるでしょうから,ご存知のかた教え てくださいませ。 4. (1) 1/2 = 1/4 + 1/4 ≦ 1/3 + 1/4 1/2 = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ≦ 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 1/2 = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 ≦ 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 (2) n=2^0=1 のとき, Sn = 1/1 = 1 n=2^2=4 のとき, Sn = 1/1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) = 1/1 + 1/2 + (1/2 以上) ≧ 2 n=2^4=16 のとき, Sn = 1/1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (... + 1/8) + (... + 1/16) = 1/1 + 1/2 + (1/2 以上) + (1/2 以上) + (1/2 以上) ≧ 3 上記の規則性から「n=2^18 は,Sn≧10 となるnの1つである」と言える。 これらの式の形を参考にすると, nが大きくなるにつれSnも限りなく増えていくと予想できる。
お便り2004/10/17
from=honda
2. (1) (a+b)/2が条件を満たす有理数である (2) \sqrt{17}>4.2であるのでy=4.2とすればよい (3) aとbはともに正の数であるとしてよい なぜなら, a,bが異符号ならば0が条件を満たす有理数であり, a,bがともに負であれば(-1)倍することで ともに正の場合に還元できる. さらに,0<a<z<b<1であると仮定してよい なぜなら,aとbの間に自然数があれば その自然数を求める有理数とすればよい. ここでまず,aが無理数であると仮定する. さて,このとき, aを小数表示したときの小数第n位の数をa_n, bを小数表示したときの小数第n位の数をb_n とする. aとbは異なるので,ある自然数kで a_kとb_kは異なるものがある. このようなkのうち最小のものを改めてkとおく. 0.a_1a_2...a_{k-1}a_{k}999999...... が求める有理数である. 次にaが有理数であると仮定する. bは無理数であるとしてよい.上記と同じ記法で b_k=0であることはないことに注意すると c=b_k-1とすると, 0.b_1b_2....b_{k-1}c9999999999 が求める有理数である. こんな感じでどうでしょう. #面白かったので #つい調子にのってしまいました(^^;;
お便り2004/10/18
from=UnderBird
4 (1)1/3+1/4>1/4+1/4=1/2 ∑[k=5・・8]1/k>1/8+1/8+1/8+1/8=1/2 ∑[k=9・・16]1/k>(1/16)×8=1/2 (2)1+(1/2)×N≧10を満たすもの。仮にN =18群とする。 S(2^18)=1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+・・・+1/16)+・・・+ (1/(2^17+1)+・・・+1/(2^18)) >1+(1/2)+(1/2)+(1/2)+・・・+(1/2)=1+(1/2)×18=10より N0=2^18 また、S(2^k)>1+(1/2)×kであるから、nがおおきくなるにつれ、kも大きくなり、 1+(1/2)×kは無限大に発散するから、Snも無限大に発散する。 2 途中まで (1)有理数は和に閉じているから、(a+b)/2が条件を満たすものとして必ず存在する。 (2)4<4+p<√17となるpを求める。 ただし0<p<1とする。 (4+p)^2<17 16+8p+p^2<17 p^2+8p<1 9p^2<p^2+8p<1 p<1/3 よって、仮にp=1/4とすれば、4<17/4<17だから、 有理数4<17/4の間には(1)の間に有理数yが存在する。 すなわち、4<y<√17をみたす有理数yが存在する。 (3)(2)に帰着させて、有理数の存在性を導くのだと思います。 最終的に、 「a,bがどのような実数でもa≠bである限りaとbの間には 有理数が存在する。」を証明するのですよね。 両方無理数の場合は、両辺から、どちらかの無理数を引けば、 (3)に帰着という流れではないでしょうか。 とちゅうまでで、ごめんなさい。