質問<199>99/12/7
先日は「無限等比級数の和」について教えてくださいまして 有り難うございました。 いただいた回答に関して、もう少しご教授いただけますと幸 いなのですが、 したがって、 S=lim Sn を計算するためには、次のように場合分けをする。 n→∞ (1)r>1のとき、lim r(のn乗)=∞ n→∞ (2)r=1のとき、lim r(のn乗)=1 n→∞ (3)-1<r<1のとき、 lim r(のn乗)=0 n→∞ (4)r≦-1のとき、 lim r(のn乗)=振動 n→∞ したがって、 -1<r<1のときのみ極限があるから、 S= a/(1-r) (ただし、-1<r<1)・・・(答) というところで、(1)~(4)のようになるのはわかるのですが、 なぜ(3)だけが選ばれるのでしょうか? たぶん私は極限ということがわかっていないのだと思います。 もしお時間があれば教えていただければ幸いです。 では失礼いたしました。
お返事99/12/7
from=武田
等比数列の初項から第n項までの和は a(1-rn) Sn=─────── ……(A) 1-r S=lim Sn を計算するためには、場合分けをする。 n→∞ (1)r>1のとき、 lim r(のn乗)=∞ n→∞ (A)より∞計算をすると、 1-∞=-∞ a×(-∞)=-∞(aは正数とする) -∞÷負定数=∞ ∴Sは∞に発散する。 (2)r=1のとき、 lim r(のn乗)=1 n→∞ r=1のときは、Sn=na lim na=∞ n→∞ ∴Sは∞に発散する。 (3)-1<r<1のとき、 lim r(のn乗)=0 n→∞ (A)より∞計算をすると、 1-0=1 a×1=a a÷正定数(1-r)=定数 ∴Sは定数に収束する。 (4)r≦-1のとき、 lim r(のn乗)=振動 n→∞ (A)より∞計算をすると、 1-振動=振動 a×振動=振動 振動÷正定数=振動 ∴Sは振動する。 したがって、 -1<r<1のときのみ収束するので、極限値がある。 S= a/(1-r) (ただし、-1<r<1) が答となる。