質問＜１９９＞９９／１２／７
from=iyiy
「極限」

先日は「無限等比級数の和」について教えてくださいまして
有り難うございました。
いただいた回答に関して、もう少しご教授いただけますと幸
いなのですが、

　したがって、
　S＝lim　Sn　を計算するためには、次のように場合分けをする。
　　 n→∞
　（1）r＞1のとき、lim　r(のn乗)＝∞
　　　　　　　　　n→∞
　（2）r＝1のとき、lim　r(のn乗)＝1
　　　　　　　　　n→∞　　　　　　　
　（3）－1＜r＜1のとき、  
　　　　　　　　　  lim　r(のn乗)＝0
　　　　　　　　　n→∞
　（4）r≦－1のとき、
　　　　　　　　　  lim　r(のn乗)＝振動
　　　　　　　　　n→∞
　したがって、
　－1＜r＜1のときのみ極限があるから、
　S＝　a／（1－r）　（ただし、－1＜r＜1）・・・（答）
　   　　
というところで、(1)～(4)のようになるのはわかるのですが、
なぜ(3)だけが選ばれるのでしょうか？
たぶん私は極限ということがわかっていないのだと思います。
もしお時間があれば教えていただければ幸いです。

では失礼いたしました。

お返事９９／１２／７
from=武田

等比数列の初項から第ｎ項までの和は
　　　ａ（１－ｒn）
Ｓn＝───────　……（Ａ）
　　　　１－ｒ
S＝lim　Sn　を計算するためには、場合分けをする。
　 n→∞
（1）r＞1のとき、　　　lim　r(のn乗)＝∞
　　　　　　　　　　　n→∞
（Ａ）より∞計算をすると、
１－∞＝－∞
ａ×（－∞）＝－∞（ａは正数とする）
－∞÷負定数＝∞
∴Ｓは∞に発散する。

（2）r＝1のとき、　　　lim　r(のn乗)＝1
　　　　　　　　　　　n→∞
ｒ＝１のときは、Ｓn＝ｎａ
lim　ｎａ＝∞
n→∞
∴Ｓは∞に発散する。

（3）－1＜r＜1のとき、 lim　r(のn乗)＝0
　　　　　　　　　　　n→∞
（Ａ）より∞計算をすると、
１－０＝１
ａ×１＝ａ
ａ÷正定数（１－ｒ）＝定数
∴Ｓは定数に収束する。

（4）r≦－1のとき、　  lim　r(のn乗)＝振動
　　　　　　　　　　　n→∞
（Ａ）より∞計算をすると、
１－振動＝振動
ａ×振動＝振動
振動÷正定数＝振動
∴Ｓは振動する。

　したがって、
　－1＜r＜1のときのみ収束するので、極限値がある。
　S＝　a／（1－r）　（ただし、－1＜r＜1）
が答となる。