質問<2031>2004/10/30
自然数nに対し,nの正の約数をd1,d2,・・・・・・,dmとする. このとき,A(n)を,A(d1)×A(d2)×・・・・・・×A(dm)=n を満たす 関数として定める. すると, A(1)=1,A(1)×A(2)=2,A(1)×A(3)=3,A(1)×A(2)×A(4)=4, A(1)×A(5)=5,A(1)×A(2)×A(3)×A(6)=6,・・・・ のような関係式がそれぞれの自然数nについて成り立ち,その関係式を 用いれば,A(n)を求めることができるというわけです. だから,A(1)=1,A(2)=2,A(3)=3,A(4)=2,A(5)=5,A(6)=1,・・・・ というふうになります. このとき,おそらくどのようなnに対してもA(n)は自然数になると思う のですが,それを証明することはできないでしょうか. 数学的帰納法を用いるにしても,それぞれの数について, 約数は異なるので難しいと思います. ★希望★完全解答★
お便り2004/10/31
from=honda
整理するとこうなるのでしょうか 結局ほとんどの場合は1になるはずですね n=1のときA(1)=1と定める n=k-1のとき, nの約数を, 1,d_1,d_2,...,d_{l},n (1<d_i<n,i=1,2,...,l) とおき, A(1)*A(d_1)*A(d_2)*・・・*A(d_l)*A(n)=n によって,A(n)を定める. このとき,A(n)は自然数であることを示せ. これを示すには, 以下のことを証明すれば十分でしょう. (1) 素数p及び自然数nに対してA(p^n)=p (2) 相異なる素数p_1,p_2,...,p_k (kは自然数で2以上), 自然数n_1,n_2,...,n_kに対して A(p_1^{n_1}p_2^{n_2}・・・p_k^{n_k})=1 (1)の証明はnに関して帰納法. (2)に関しては n_1=n_2=・・・=n_k=1の場合でkに関して帰納法. そしてX=p_1p_2・・・p_nとして A(qX)=1(qは素数) を示せば十分. このqXの場合に対しては, X=pqの場合だけ示せれば十分でしょう. #これも一種の帰納法です. これら(1)(2)が示せれば, 自然数は素因数分解できることと, 素因数分解をして p_1^{n_1}p_2^{n_2}・・・p_k^{n_k} となった自然数の約数は (1+p+・・・+p^{n_1)(1+p_2+・・・p_2^{n_2}) ・・・(1+p_k+・・・p_k^{n_k}) の各項であることから A(n)が自然数であることは示せます.