質問

a＞０とする。
楕円 x~2/a~2＋y~2＝１のx軸、y軸に平行でない接線がx軸、y軸と
交わる点をそれそれＰ、Ｑとする。線分ＰＱの長さの最小値を求めよ。
また、そのときの接線の方程式を求めよ。

この問題が分かりませんでした。
お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／２
from=wakky

（解答その１）
接線の傾きをｍとして、接線の方程式を
ｙ＝ｍｘ＋ｂ・・・①
とおきます。
接点（交点）のｘ座標を求める感覚で
①を楕円の方程式に代入します。
整理するとｘに関する二次方程式
（１＋ａ^2）ｘ^2＋２ｍａ^2ｂｘ＋ａ^2（ｂ^2－１）＝０・・・②
接線①と楕円は接するのだから
②の二次方程式において判別式をＤとすると
Ｄ／４＝（ｍａ^2ｂ）^2－（１＋ａ^2ｍ^2）（ｂ^2－１）＝０
これを整理すると
ｂ^2＝ａ^2ｍ^2＋１・・・③
点Ｐ，Ｑの座標は
Ｐ（－ｂ／ｍ，０），Ｑ（０，ｂ）だから
（①においてｙ＝０でＰ，ｘ＝０でＱの座標になります）
ＰＱ^2＝（ｂ^2／ｍ^2）＋ｂ^2
③より
ＰＱ^2＝｛（ａ^2ｍ^2＋１）／ｍ^2｝＋ａ^2ｍ^2＋１
      ＝ａ^2＋１＋（１／ｍ^2）＋ａ^2ｍ^2
ここで
１／ｍ^2＞０，ａ^2ｍ^2＞だから
相加平均と相乗平均の関係から
ＰＱ^2＝ａ^2＋１＋（１／ｍ^2）＋ａ^2ｍ^2
      ≧ａ^2＋１＋２√｛（１／ｍ^2）ａ^2ｍ^2｝
      ＝ａ^2＋１＋２√ａ^2
ａ＞０より√ａ^2＝ａ
よって
ＰＱ^2≧（ａ＋１）^2だから
ＰＱ≧ａ＋１・・・④
よって線分ＰＱの最小値は
ａ＋１・・・（答）
また④において等式が成り立つのは
１／ｍ^2＝ａ^2ｍ^2のときだから
ｍ＝±１／√ａ
このとき③より
ｂ^2＝ａ＋１
よって
ｂ＝±√（ａ＋１）
よって①より、線分ＰＱの長さが最小となるときの接線の方程式は
ｙ＝±（１／√ａ）ｘ±√（ａ＋１）・・・（答）
（複合は同順でなくてよい）
つまりこのような接線は４本あるということですね。
図にするとよくわかります。

（解答その２）
楕円と接線の接点の座標を（ｓ，ｔ）とすると
接線の方程式は
（ｓｘ／ａ^2）＋ｔｙ＝１
よって点Ｐ，Ｑの座標は
Ｐ（ａ^2／ｓ，０），Ｑ（０，１／ｔ）
接線の傾きをｍとすると
ｍ＝－ｓ／（ｔａ^2）
よって
ｓ＝－ｔａ^2ｍ・・・①
点（ｓ，ｔ）は楕円上の点だから
（ｓ^2／ａ^2）＋ｔ^2＝１・・・②
①②より
ｔ^2＝１／（ａ^2ｍ^2＋１）
ｓ^2＝ａ^4ｍ^2／（ａ^2ｍ^2＋１）
ＰＱ^2＝（ａ／ｓ）^2＋（１／ｔ）^2
      ＝｛（ａ^2ｍ^2＋１）／ｍ^2｝＋ａ^2ｍ^2＋１
      ＝ａ^2＋１＋（１／ｍ^2）＋ａ^2ｍ^2
以下（解答その１）と同じです。