質問<2032>2004/10/30
a>0とする。 楕円 x~2/a~2+y~2=1のx軸、y軸に平行でない接線がx軸、y軸と 交わる点をそれそれP、Qとする。線分PQの長さの最小値を求めよ。 また、そのときの接線の方程式を求めよ。 この問題が分かりませんでした。 お願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2004/11/2
from=wakky
(解答その1) 接線の傾きをmとして、接線の方程式を y=mx+b・・・① とおきます。 接点(交点)のx座標を求める感覚で ①を楕円の方程式に代入します。 整理するとxに関する二次方程式 (1+a^2)x^2+2ma^2bx+a^2(b^2-1)=0・・・② 接線①と楕円は接するのだから ②の二次方程式において判別式をDとすると D/4=(ma^2b)^2-(1+a^2m^2)(b^2-1)=0 これを整理すると b^2=a^2m^2+1・・・③ 点P,Qの座標は P(-b/m,0),Q(0,b)だから (①においてy=0でP,x=0でQの座標になります) PQ^2=(b^2/m^2)+b^2 ③より PQ^2={(a^2m^2+1)/m^2}+a^2m^2+1 =a^2+1+(1/m^2)+a^2m^2 ここで 1/m^2>0,a^2m^2>だから 相加平均と相乗平均の関係から PQ^2=a^2+1+(1/m^2)+a^2m^2 ≧a^2+1+2√{(1/m^2)a^2m^2} =a^2+1+2√a^2 a>0より√a^2=a よって PQ^2≧(a+1)^2だから PQ≧a+1・・・④ よって線分PQの最小値は a+1・・・(答) また④において等式が成り立つのは 1/m^2=a^2m^2のときだから m=±1/√a このとき③より b^2=a+1 よって b=±√(a+1) よって①より、線分PQの長さが最小となるときの接線の方程式は y=±(1/√a)x±√(a+1)・・・(答) (複合は同順でなくてよい) つまりこのような接線は4本あるということですね。 図にするとよくわかります。 (解答その2) 楕円と接線の接点の座標を(s,t)とすると 接線の方程式は (sx/a^2)+ty=1 よって点P,Qの座標は P(a^2/s,0),Q(0,1/t) 接線の傾きをmとすると m=-s/(ta^2) よって s=-ta^2m・・・① 点(s,t)は楕円上の点だから (s^2/a^2)+t^2=1・・・② ①②より t^2=1/(a^2m^2+1) s^2=a^4m^2/(a^2m^2+1) PQ^2=(a/s)^2+(1/t)^2 ={(a^2m^2+1)/m^2}+a^2m^2+1 =a^2+1+(1/m^2)+a^2m^2 以下(解答その1)と同じです。