質問＜２０３３＞２００４／１０／３１
from=Ｓｕｅ
「関数の増減・極値」

(1)
３次関数f(x)=x＾3＋ax＾2＋bxがx=-aで極値a＾2をもつとき、
定数a,bの値を求めよ。
また、このときのf(x)の極小値を求めよ。

(2)
関数f(x)=ax＾3＋(7-a＾2)x＾2＋bx＋cは、x=-1で極小値を、
x=2で極大値をとり、極小値の絶対値の2倍が極大値に等しい。
定数a,b,cを求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／１
from=wakky

３次関数ｆ（ｘ）を微分するとｆ’（ｘ）は２次関数になります。
ｆ（ｘ）が極値を持つということは
２次方程式 ｆ’（ｘ）＝０ が
異なる二つの実数解を持つと（判別式＞０）言うことです。
常にｆ’（ｘ）≦０ならば極値を持たないということは理解できますね。

（１）
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2＋２ａｘ＋ｂ
二次方程式ｆ’（ｘ）＝０の判別式をＤとして
Ｄ／４＝ａ^2－３ｂ＞０・・・①
ｘ＝－ａのとき極値ａ^2を持つのだから
ｆ’（－ａ）＝０より
ａ^2＋ｂ＝０・・・②
また
ｆ（－ａ）＝ａ^2より
ａ（ａ＋ｂ）＝０・・・③
③より
ａ＝０またはａ＋ｂ＝０
ａ＝０のとき
ａ＝ｂ＝０となるが、これは①を満たさない。
従って ａ≠０
ａ＋ｂ＝０のとき、ｂ＝－ａだから
②より
ａ（ａ－１）＝０
ａ≠０より ａ＝１ このとき ｂ＝－１

（答）ａ＝１，ｂ＝－１

ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｘ^2－ｘ より
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2＋２ｘ－１
          ＝（ｘ＋１）（３ｘ－１）
よって次の増減表を得る。

  ｘ      |      －１        1/3
--------------------------------------
ｆ’（ｘ）|  ＋    ０    －   ０   ＋ 
--------------------------------------
ｆ（ｘ）  |  増   極大   減  極小  増

よって極小値は
ｆ（１／３）＝－５／２７

（２）
ｆ’（ｘ）＝３ａｘ^2＋２（７－ａ^2）ｘ＋ｂ
前問と同様に
Ｄ／４＝（７－ａ^2）^2－３ａｂ・・・①
条件より
ｆ’（－１）＝３ａ－２（７－ａ^2）＋ｂ＝０
ゆえに
２ａ^2＋３ａ＋ｂ－１４＝０・・・②
ｆ’（２）＝１２ａ＋４（７－ａ^2）＋ｂ＝０
ゆえに
４ａ^2－１２ａ＋ｂ－２８＝０・・・③
２｜ｆ（－１）｜＝ｆ（２）・・・④
②③からｂを消去して解くと
ａ＝－２またはａ＝７／２
ａ＝２のときｂ＝１２
これは①を満たす
ａ＝７／２のときｂ＝２１
これは①を満たさない
したがって
ａ＝－２，ｂ＝１２
以上から
ｆ（ｘ）＝－２ｘ^3＋３ｘ^2＋１２ｘ＋ｃ
④より
２｜ｃ－７｜＝ｃ＋２０
ｃ≧７のとき
２（ｃ－７）＝ｃ＋２０より
ｃ＝３４
ｃ＜７のとき
２（７－ｃ）＝ｃ＋２０より
ｃ＝－２

（答）ａ＝－２，ｂ＝１２，ｃ＝３４または－２

お便り２００４／１１／２
from=wakky

上の回答に、不適切な表現があったので訂正します。

常にｆ’（ｘ）≦０ならば極値を持たないということは理解できますね。

の部分は

Ｄ≦０ならばｆ’（ｘ）＝０は重解をもつか、あるいは実数解と持たないので、
常にｆ’（ｘ）≦０であるかまたは、ｆ≧０ということで、ちょっと言葉足らずでした。

（２）の
Ｄ／４＝（７－ａ^2）^2－３ａｂ・・・①
の部分の　＞０　が抜けていました（汗