質問＜２０３８＞２００４／１１／２
from=たけ
「不等式」

次の不等式を証明せよ。
(1) x>0,y>0のとき　(x+y)/2≧√(xy)

(2) x>1,y>1のとき
　 (log10 ((x+y)/2))^2≧log10 x・log10 y

(3) x>1のとき
　 logx (1+x)>log(1+x) (2+x)

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／３
from=風あざみ

(1)
(x+y)/2-√(xy)={(√x-√y)}^2/2≧0
したがって、(x+y)/2≧√(xy)となります。
(等号はx=yのときのみ成立する)

(2)
log_10の底の10を省略して、logと表記します。
(1)より、(x+y)/2≧√(xy)が成立するから
(log{(x+y)/2})^2≧(log{√(xy)})^2={(1/2)*log(xy)}^2={(logx+logy)}^2/4
したがって、(log10 {(x+y)/2})^2≧{(logx+logy)}^2/4…☆
(等号はx=yのときのみ成立する)
{(logx+logy)}^2/4-(logx)*(logy)={(logx+logy)^2-4(logx)(logy)}/4
=(logx-logy)^2≧0
したがって{(logx+logy)}^2/4≧(logx)*(logy)…★
(等号はlogx=logyつまりx=yのときのみ成立する)
☆と★より、(log10 {(x+y)/2})^2≧(logx)*(logy)が成立することがわかる。
(ただし、等号はx=yのときのみ成立する)

(3)
log_[x](x+1)＞log_[1+x](x+2)…○
log_10の底の10を省略して、logと表記します。
底の交換法則より
log_[x](x+1)=log(x+1)/logx、log_[1+x](x+2)=log(x+2)/log(x+1)
したがって、問題の不等式の○は、
log(x+1)/logx＞log(x+2)/log(x+1)…◎
と同値である。x＞1よりlogx＞0、log(x+1)＞0が成立するので◎の不等式は
{log(x+1)}^2＞log(x+2)*logx…●
と同値である。
したがって、不等式●が示せれば、元の不等式の○が示せることになる。
不等式●を示します。
(2)で示したとおり
log(x+2)*logx＜(log{(x+2+x)/2})^2={log(x+1)}^2
(∵　x+2＞xですので、この場合等号は成立しません)

よって、不等式●が示せました。
したがって、元の不等式の○も示せたことになります。