質問＜２０３９＞２００４／１１／３
from=まーくん
「異なる半径の2つの円弧の２次微分」

異なる半径（ｒ1とｒ２）の２つの円弧を滑らかに接続したときに、
接続点における左右の線分の傾き（一次微分）は等しいが、左右の
線分の傾きの変化率（二次微分）は異なることを照明したいのですが、
どうすればよいのでしょうか。
円の方程式を微分すれば良いのだと思いますがどなたか教えてください。
（すみませんが、急いでいます。）

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／６
from=wakky

どこまで一般性（厳密性）が求められるのかによるのでしょうが、
私にとっては難しい問題です。
例えば
原点中心で半径ｒ１の円をＳ１として
ｘ＞０，ｙ＞０の部分で
ｘ軸、ｙ軸と、円Ｓ１に接するような円Ｓ２を考えて
その半径をｒ２とすれば、
ｒ２＝ｒ１／（１＋√２）となって
Ｓ１とＳ２の接点Ｐは
Ｐ（（√２／２）ｒ１，（√２／２）ｒ１）となります。
そうすると
点Ｐにおける微分係数はどちらの場合も－１で
計算してませんが、二次微分は等しくないということが分かると思います。
でも、これだと一般性に欠けるのでしょうねぇ・・・

お便り２００４／１１／９
from=UnderBird

半径の異なる2つの円弧を滑らかに接続、左右の～　　の文章から、
2つの円が外接すると限定でしょうか？内接している場合も含めて考えるのでは？
と1つめの疑問。
さらに二次微分って２階微分のことですよね？
そして、ｙのｘに対する２階微分ってことですか？すなわち、
y''=d/dx(dy/dx)=dy^2/d^2xのことですよね。
以上を仮定して、2つの円が内接または外接してるとその接点では、共通接線が引け
るから、接線の傾きは当然等しい。しかし、接点から各円の円周上を移動させるとそ
れぞれの接線の傾きは変わるから、接線の傾きの変化率は異なっている。というのが
直感的説明。

次に2つの円を平行移動しても接線の傾きは変わらないから、
x^2+y^2=r^2とx^2+y^2=R^2の各（rcosθ,rsinθ）、（Rcosθ,Rsinθ）における接線
の傾きy'とy''を考える。
ただし、θ≠0,πとする。
どちらもxで微分すると、2x+2yy'=0よりy'=-x/yより一次微分（接線の傾き）は等し
い。
さらにxで微分し、x+(y')^2+yy''=0とy'=-x/ｙより
y''=-(x^2+y^2)/y^3
よって、それぞれ（rcosθ,rsinθ）、（Rcosθ,Rsinθ）におけるy''の値は
-r^2/(sinθ)^2,-R^2/(sinθ)^2となるから、異なっている。
このような説明ではどうでしょうか？