質問＜２１＞９８／６／２４
from=悩める若人
「積分」
積分は微小区間の長方形の和ですよね？
区間を無限にわけることで長方形と曲線のの隙間が埋まる
というのはわかるんですが、それがどうして
積分で次数が１つあがるあの計算につながるのかわかりません。
無限和から積分計算が始まったと思っているのですが・・・
お返事９８／６／２５
from=武田
x=b b
lim Σ f(x)ｈ ＝ ∫ f(x)dx
h→0 x=a a
となることを計算してみます。
具体的にf(x)＝ｘ2のとき、ａ＝０，ｂ＝１，ｈ＝1/nとして、
ｈ→０をｎ→∞とする。
x=1
lim Σ ｘ21/n
n→∞ x=0
＝lim ｛０21/n＋(1/n)21/n＋(2/n)21/n＋(3/n)21/n＋…
n→∞
…＋((n-1)/n)21/n｝
＝lim (1/n)3｛０＋１2＋２2＋３2＋……＋(n-1)2｝
n→∞
平方数の和の公式より
１2＋２2＋３2＋……＋(n-1)2
＝(1/6)(n-1)n(2n-1)より、
lim (1/n)3(1/6)(n-1)n(2n-1)
n→∞
＝lim (1/6)(1-1/n)(2-1/n)
n→∞
＝(1/6)(1-０)(2-０)
＝２／６＝１／３
左辺は１／３となる。右辺は
1 1
∫ x2dx＝［x3／３］＝１／３－０／３＝１／３
0 0
したがって、無限和の左辺と定積分の右辺の値がともに１／３となる。