質問<21>98/6/24
from=悩める若人
「積分」
積分は微小区間の長方形の和ですよね?
区間を無限にわけることで長方形と曲線のの隙間が埋まる
というのはわかるんですが、それがどうして
積分で次数が1つあがるあの計算につながるのかわかりません。
無限和から積分計算が始まったと思っているのですが・・・
お返事98/6/25
from=武田
x=b b
lim Σ f(x)h = ∫ f(x)dx
h→0 x=a a
となることを計算してみます。
具体的にf(x)=x2のとき、a=0,b=1,h=1/nとして、
h→0をn→∞とする。
x=1
lim Σ x21/n
n→∞ x=0
=lim {021/n+(1/n)21/n+(2/n)21/n+(3/n)21/n+…
n→∞
…+((n-1)/n)21/n}
=lim (1/n)3{0+12+22+32+……+(n-1)2}
n→∞
平方数の和の公式より
12+22+32+……+(n-1)2
=(1/6)(n-1)n(2n-1)より、
lim (1/n)3(1/6)(n-1)n(2n-1)
n→∞
=lim (1/6)(1-1/n)(2-1/n)
n→∞
=(1/6)(1-0)(2-0)
=2/6=1/3
左辺は1/3となる。右辺は
1 1
∫ x2dx=[x3/3]=1/3-0/3=1/3
0 0
したがって、無限和の左辺と定積分の右辺の値がともに1/3となる。