質問<2191>2005/2/4
まず大きな円があって、説明するのは難しいのですが、一見 三角関数の単位円のようなもので4つの象限で分けられていて 中心に一つの小さな円があり全部で5箇所に分けられています。 問 異なる5色を使って塗り分ける方法は何通りあるか。次の場合を求めよ。 ただし、隣り合った部分には異なる色を用い、 色は5色以内であれば、何色用いてよい。 (1) 5つの場所に名前をつけて、区別する。 (2) 回転して同じものになる場合は、1通りと数える ちなみに(1)の答えは420通り (2)の答えは120通り です。 解説の方を宜しくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/2/8
from=wakky
まず、最低3色あれば塗り分けられることがわかります。 中心の円の部分をOとして 周囲の4つの部分をABCDとでもしましょう。 AとC,BとDが向かい合わせです。 (1) 3色のとき 5色から3色を選ぶ方法は 5C3=10通り Oの塗り方は3通り 残りの2色は、同じ色が向かい合わなければならないから2通り よって 10×3×2=60通り 4色のとき 5色から4色を選ぶ方法は 5C4=5通り Oの塗り方は4通り 残りの3色のうち、1色は向かい合わないといけないから、その1色の選び方は3通り 残りの2色の塗り方は互いに向かい合う2通り 向い合い方は2通りあるから 5×4×3×2×2=240通り 5色のとき 単なる順列と考えて良いから 5!=120通り 60+240+120=420通り (2) 3色と4色のときは、(1)のあるひとつの塗り方は、回転させると同じ物になる。 つまり、Oの塗り方まで決まれば、塗り方は一意に定まる。 よって 3色のとき 10×3=30通り 4色のとき 5×4×3=60通り 5色のときは Oの塗り方は5通りで 残りの4色は円順列だから 5×(4-1)!=30通り 30+60+30=120通り