質問

まず大きな円があって、説明するのは難しいのですが、一見
三角関数の単位円のようなもので４つの象限で分けられていて
中心に一つの小さな円があり全部で５箇所に分けられています。

問　異なる５色を使って塗り分ける方法は何通りあるか。次の場合を求めよ。
ただし、隣り合った部分には異なる色を用い、
色は５色以内であれば、何色用いてよい。

(1)　５つの場所に名前をつけて、区別する。
(2)　回転して同じものになる場合は、１通りと数える

ちなみに（1）の答えは420通り
　　　　（2）の答えは120通り　です。　
解説の方を宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／８
from=wakky

まず、最低３色あれば塗り分けられることがわかります。
中心の円の部分をＯとして
周囲の４つの部分をＡＢＣＤとでもしましょう。
ＡとＣ，ＢとＤが向かい合わせです。

（１）
３色のとき
　５色から３色を選ぶ方法は
　5Ｃ3＝１０通り
　Ｏの塗り方は３通り
　残りの２色は、同じ色が向かい合わなければならないから２通り
　よって
　１０×３×２＝６０通り
４色のとき
　５色から４色を選ぶ方法は
　5Ｃ4＝５通り
　Ｏの塗り方は４通り
　残りの３色のうち、１色は向かい合わないといけないから、その１色の選び方は３通り
　残りの２色の塗り方は互いに向かい合う２通り
　向い合い方は２通りあるから
　５×４×３×２×２＝２４０通り
５色のとき
　単なる順列と考えて良いから
　５！＝１２０通り

６０＋２４０＋１２０＝４２０通り

（２）
３色と４色のときは、（１）のあるひとつの塗り方は、回転させると同じ物になる。
つまり、Ｏの塗り方まで決まれば、塗り方は一意に定まる。
よって
３色のとき　１０×３＝３０通り
４色のとき　５×４×３＝６０通り
５色のときは
Ｏの塗り方は５通りで
残りの４色は円順列だから
５×（４－１）！＝３０通り

３０＋６０＋３０＝１２０通り