質問<2219>2005/3/2
2次関数y=x^2+(k-2)x+k^2のグラフがある。 (1)このグラフの頂点が第1象限内にあるときのkの値の範囲を求めよ。 (2)このグラフがx軸および直線y=2x-5と接するときのkの値を 求めよ。 (3)このグラフが2点A,Bでx軸と交わるとき、線分ABの長さが 2以上となる場合のkの値の範囲を求めよ。 ★希望★ヒント希望★
お便り2005/3/3
from=wakky
ヒント希望とのことですので (1) 頂点が第1象限ならば 頂点の x座標≧0かつy座標≧0 (2) x軸に接するから x^2+(k-2)x+k^2=0は重解をもつ ならば、判別式=0 y=2x-5に接するから x^2+(k-2)x+k^2=2x-5も重解をもつ やっぱり、判別式=0 この2つの判別式=0を同時に満たすkが分かればよい。 (3) x^2+(k-2)x+k^2=0 の2つの解は、x軸との交点のx座標 2つの解をα、βとすると |α-β|≧2 ※ (α<βとしてβ-α≧2としても一般性は失わないでしょう) 両辺を平方して α+βとαβの対象式に持ち込む あとは、解と係数の関係です。
お便り2005/3/4
from=KINO
(1) 頂点の座標を k を用いた式で書き表します。 その座標を仮に (p,q) とおくと, 「頂点が第1象限にある」ことは 「p>0 かつ q>0 が成り立つ」ことと 言い換えられるので,このふたつの不等式を同時に みたす k の範囲を決めればよいことになります。 (2) まず「x 軸と接する」ことは,グラフの頂点が x 軸上にあることと同じなので,(1) で求めた y 座標を 0 にするような k の値を求めます。 「直線 y=2x-5 と接する」ということは, y=x^2+(k-2)x+k^2 と y=2x-5 という連立方程式を みたす解が一つしかないということですので, y を消去して得られる x の2次方程式が重解をもつような k の値を, 判別式を用いて調べます。 「x 軸と接する」条件から出てきた k の値と 「直線 y=2x-5 と接する」条件から出てきた k の値で,共通するものが 答えになります。 (3) まず大前提として x 軸との交点がふたつ必ず あるような k の範囲を調べておきます。 次に x 軸とふたつの交点をもつとして,その x 座標を a, b としておきます。 線分 AB の長さは |a-b| で与えられるので, |a-b|≧2 となる k の範囲を求めます。 このままでは扱いにくいので, 両辺を2乗して (a-b)^2≧4 と書き直します。 a, b は方程式 0=x^2+(k-2)x+k^2 の2解なので, 解と係数の関係より a+b=-(k-2),ab=k^2 です。 そして (a-b)^2=(a+b)^2-4ab なので AB≧2 という条件を k のみで表すことができます。 その不等式をみたす k の範囲と, 最初に調べた「グラフが x 軸とふたつの 交点をもつような k の範囲」との共通部分が答えです。