質問

問題）
Ａ＝｛Ｘ│０＜ｘ＜１｝を｛Ｘ│－∞＜ｘ＜∞｝に対応させる写像の例

として、以前次のような解答がありましたが、少し詳しく説明してほしいと
思います。
また別の解答があればお教えください。 
ｆ（ｘ）＝1/ｘ+1/（ｘ+1）、ｆ（ｘ）＝tan{π(x-1/2)｝　etc

★希望★完全解答★

お便り２００５／３／２２
from=KINO

開区間 A=(0,1) を B={実数全体} に「一対一に」写す写像 f を構成する問題と
解釈します。
f がそのような写像だったとすると，y=f(x) のグラフが
x 座標が右から原点に近づくにつれてグラフは -∞ に落ち込み，
x 座標が左から x=1 に近づくにつれてグラフは +∞ に飛んでいくか，
あるいは x→+0 のとき y→+∞ かつ x→1-0 のとき y→-∞ になるような
グラフになっていればよいです。

そう考えると，ある一点で無限大に発散するような関数を組み合わせれば
要求されている関数を作れそうだとわかります。
そのような関数は，ある一点で分母が零になってしまうタイプの分数関数
が代表例です。

例えば，-1/x という関数は x→+0 のとき -∞ に行き，
1/(1-x) という関数は x→1-0 のとき +∞ に発散するので，
f(x)=1/(1-x)-1/x という関数が考えられます。
（例として挙げていらっしゃる ｆ（ｘ）＝1/ｘ+1/（ｘ+1）は
この関数の間違いではないかと思われます。）
この手の関数としては，f(x)=1/(1-x^2)-1/x^2 など，
いろいろなものが考えられます。

また，tanθ は θ→-π/2+0 のとき -∞，θ→π/2-0 のとき +∞ 
になりますので，
区間 (-π/2,π/2) を平行移動して (0,π) にし，
さらに区間の長さを変えて (0,1) にしたときに，
ちょうど tanθ が例に挙げていらっしゃる f(x)=tan{π(x-1/2)｝という関数
が出てきます。
グラフを描いてみれば納得されることと思います。

他には，双曲関数のうちのひとつ，ハイパボリック・タンジェント tanh(x) の
逆関数 arctanh(x) を用いても同様の関数をつくることが出来ます。
そのときには tanθ の時のように平行移動しなければなりませんが。
f(x)=arctanh(2x-1) とおけばいいように思います。

何も分数の形をしている関数をもとにするだけではありません。
ちょっと対数関数を使って
f(x)=log(x)+1/(1-x) などとしてもできます。

ここに挙げた関数は全て連続な単調増加関数ですので，区間 (0,1) と実数全体
の全単射になっています。

最後に，f が x→+0 のときに -∞，x→1-0 のときに +∞ になる関数だとすると，
-f は x→+0 のときに +∞，x→1-0 のときに -∞ になる関数の例を与えることに
注意しておきます。

お便り２００５／３／２３
from=UnderBird

答えのみですが、
ｘ／√（１－ｘ^2）
もそうです。