質問<2238>2005/3/19
問題) A={X│0<x<1}を{X│-∞<x<∞}に対応させる写像の例 として、以前次のような解答がありましたが、少し詳しく説明してほしいと 思います。 また別の解答があればお教えください。 f(x)=1/x+1/(x+1)、f(x)=tan{π(x-1/2)} etc ★希望★完全解答★
お便り2005/3/22
from=KINO
開区間 A=(0,1) を B={実数全体} に「一対一に」写す写像 f を構成する問題と 解釈します。 f がそのような写像だったとすると,y=f(x) のグラフが x 座標が右から原点に近づくにつれてグラフは -∞ に落ち込み, x 座標が左から x=1 に近づくにつれてグラフは +∞ に飛んでいくか, あるいは x→+0 のとき y→+∞ かつ x→1-0 のとき y→-∞ になるような グラフになっていればよいです。 そう考えると,ある一点で無限大に発散するような関数を組み合わせれば 要求されている関数を作れそうだとわかります。 そのような関数は,ある一点で分母が零になってしまうタイプの分数関数 が代表例です。 例えば,-1/x という関数は x→+0 のとき -∞ に行き, 1/(1-x) という関数は x→1-0 のとき +∞ に発散するので, f(x)=1/(1-x)-1/x という関数が考えられます。 (例として挙げていらっしゃる f(x)=1/x+1/(x+1)は この関数の間違いではないかと思われます。) この手の関数としては,f(x)=1/(1-x^2)-1/x^2 など, いろいろなものが考えられます。 また,tanθ は θ→-π/2+0 のとき -∞,θ→π/2-0 のとき +∞ になりますので, 区間 (-π/2,π/2) を平行移動して (0,π) にし, さらに区間の長さを変えて (0,1) にしたときに, ちょうど tanθ が例に挙げていらっしゃる f(x)=tan{π(x-1/2)}という関数 が出てきます。 グラフを描いてみれば納得されることと思います。 他には,双曲関数のうちのひとつ,ハイパボリック・タンジェント tanh(x) の 逆関数 arctanh(x) を用いても同様の関数をつくることが出来ます。 そのときには tanθ の時のように平行移動しなければなりませんが。 f(x)=arctanh(2x-1) とおけばいいように思います。 何も分数の形をしている関数をもとにするだけではありません。 ちょっと対数関数を使って f(x)=log(x)+1/(1-x) などとしてもできます。 ここに挙げた関数は全て連続な単調増加関数ですので,区間 (0,1) と実数全体 の全単射になっています。 最後に,f が x→+0 のときに -∞,x→1-0 のときに +∞ になる関数だとすると, -f は x→+0 のときに +∞,x→1-0 のときに -∞ になる関数の例を与えることに 注意しておきます。
お便り2005/3/23
from=UnderBird
答えのみですが、 x/√(1-x^2) もそうです。