質問<2250>2005/3/26
以下の問題がわかりません。分かる方、教えてください。 If f(x) is everywhere differentiable on the closed interval [a,b], then A) f'(x) is Riemann integrable B) f''(x) exists C) f'(x) is continuous D) f(x) may be unbounded E) f(x) is uniformly continuous on the interval よろしくお願いいたします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/4/2
from=KINO
どれか正しいものを選べ,ということでしょうか。 それならば,E が正解です。 他は一般には成り立ちません。 蛇足ながら解説をつけておきます。 微分可能ならば連続です。 E) 有界閉区間における連続関数は一様連続になります。 D) 有界閉区間上で連続であることから,必ず最大値と最小値を持ちますので, 関数は有界です。 D), E) は共に有界閉区間の「コンパクト性」を用いて示されます。 B) が成り立たない例は f(x)=|x|x を [-1,1] で考えたとき。 x の符号で場合分けして f'(x)=|x| となりますが, これは x=0 で微分可能ではありません。 C) が成り立たない例は忘れました・・・。ヤバ・・・。 A) が成り立たない例は f(x)=x^2sin(1/x) (x≠0), f(0)=0 かなぁ。 あ,これがちょうど C が成り立たない例ですね。 区間[-1,1] で考えると,x=0 以外では問題ないので x=0 のところで考えると, {f(h)-f(0)}/h=hcos(1/h) より, h→0 のときちゃんと 0 に収束するので f'(0)=0 ですが,x≠0 では f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) で, x→0 のとき cos(1/x) が激しく振動して極限が定まらないので f' は x=0 で連続ではありません。 f' の形をみるとRiemann積分も出来なさそうですが, ちゃんと確認してはおりません。