質問＜２２５０＞２００５／３／２６
from=巾
「微分可能な関数の特徴について」

以下の問題がわかりません。分かる方、教えてください。

If f(x) is everywhere differentiable on the closed interval [a,b], then

A) f'(x) is Riemann integrable
B) f''(x) exists
C) f'(x) is continuous
D) f(x) may be unbounded
E) f(x) is uniformly continuous on the interval

よろしくお願いいたします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／２
from=KINO

どれか正しいものを選べ，ということでしょうか。

それならば，E が正解です。
他は一般には成り立ちません。

蛇足ながら解説をつけておきます。
微分可能ならば連続です。

E) 有界閉区間における連続関数は一様連続になります。

D) 有界閉区間上で連続であることから，必ず最大値と最小値を持ちますので，
　関数は有界です。

D), E) は共に有界閉区間の「コンパクト性」を用いて示されます。

B) が成り立たない例は f(x)=|x|x を [-1,1] で考えたとき。
　x の符号で場合分けして f'(x)=|x| となりますが，
　これは x=0 で微分可能ではありません。

C) が成り立たない例は忘れました・・・。ヤバ・・・。

A) が成り立たない例は f(x)=x^2sin(1/x) (x≠0),
　f(0)=0 かなぁ。

あ，これがちょうど C が成り立たない例ですね。
区間[-1,1] で考えると，x=0 以外では問題ないので x=0 のところで考えると，
{f(h)-f(0)}/h=hcos(1/h) より，
h→0 のときちゃんと 0 に収束するので f'(0)=0 ですが，x≠0 では
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) で，
x→0 のとき cos(1/x) が激しく振動して極限が定まらないので
 f' は x=0 で連続ではありません。
f' の形をみるとRiemann積分も出来なさそうですが，
ちゃんと確認してはおりません。