質問＜２２６４＞２００５／４／３
from=pooh
「微分・積分」

放物線y=kx^2(k>0)上に異なる2点P(a,ka^2)、Q(b,kb^2)(a>b)がある。
(1)点Pにおける接線l、および点Qにおける接線mの方程式を求めよ。
(2)lとmの交点Rの座標を求めよ。
(3)l、mと放物線y=kx^2とで囲まれた部分の面積をa、bを用いて表せ。
よろしくおねがいします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／８
from=亀田馬志

まず一次関数に付いて。
傾きaで点(ｘ_(0)、ｙ_(0))を通る直線は

･ｙ－ｙ_(0)＝a(ｘ－ｘ_(0))･･････①

で表されます。コレはイイですよね?
この一般の直線がどう言う傾きを持ってどの点を通るのか、って事で直線の式が
決定されます。
この問題の最初は、別の関数の『ある点に於いての傾き』がこの直線の傾きと
一致してて、かつその『ある点を共有してる』って事です。それが『接線』って
意味です。それでは順次見て行ってみましょう。

＞放物線y=kx^2(k>0)上に異なる2点P(a,ka^2)、Q(b,kb^2)(a>b)がある。
(1)点Pにおける接線l、および点Qにおける接線mの方程式を求めよ。

まず放物線y=kx^2(k>0)の『傾き』を見てみます。これは微分してみればすぐに
分かります。

･dy/dx＝2kx…②

つまり放物線y=kx^2に於いては、その『傾き』自体がxの関数である、って事が
分かります。そしてxが決定しなければ傾きの実値、ってのも分からない、って
事ですよね。
まず接線lを見てみましょうか。接線lってのは次の条件を満たしてる、って事です。

『接線lは点P(ｘ_(0)、ｙ_(0))＝(a,ka^2)を通り、点P(a,ka^2)に於ける
放物線y=kx^2の傾きを共有する直線である』

取りあえず『点P(a,ka^2)に於ける放物線y=kx^2の傾き』を求めてみましょうか。
②に与えられたｘ、この場合はaですよね?を代入すれば分かります。

･点P(a,ka^2)に於ける放物線y=kx^2の傾き＝2ka

これが接線lの傾きでもある、って事です。アトは①の式にそれぞれ当てはめれば
完了です。

･ｙ－ka^2＝2ka(ｘ－a)
∴y＝2kaｘ－ka^2･･･(接線l)

同じような考え方で接線mも求めてみてください。
ちなみに接線mは

･ｙ＝2kbｘ－kb^2

となるハズです。

(2)lとmの交点Rの座標を求めよ。

連立方程式の問題です。つまり共有する(ｘ、ｙ)の値を求めればイイ、って事
ですよね?そこで接線lと接線mを並べてみます。

･ｙ＝2kaｘ－ka^2…③
･ｙ＝2kbｘ－kb^2…④

書き換えます。

･2kaｘ－ｙ＝ka^2…③'
･2kbｘ－ｙ＝kb^2…④'

行列にしちゃいます。

　(2ka　－1)(ｘ)　(ka^2)
・(2kb　－1)(ｙ)＝(kb^2)･･･⑤

ワンパターンなんですが『クラメールの公式』を使います。好きなんですよ(笑)。
(解き方は行列の項目に記載されてる様です。)
『機械的に何も考えないで解く』には簡便なんですよね。まあ、これを機会に
慣れてください。解は

･点R(ｘ,ｙ)＝((a＋b)/2,kab)

となるハズです。確かめてみてください。

3)l、mと放物線y=kx^2とで囲まれた部分の面積をa、bを用いて表せ。

これは･･･図書けば簡単なんですけどね～～～。
取りあえずk＞0って条件とa＞bって条件により、点Rを頂点とした『逆三角形の様に
に見える』部分の面積を求めればイイワケなんですが
･･････文章で書くとメンド臭いな。
ええと、単純に言うと、x＝(a＋b)/2で分けられた右の部分の面積と左の部分の
面積を別々に求めて、最後にそれを足してやればイイ、って事です。a＞bに拠り
右の部分はa絡み、左の部分はb絡み、ってのがコレで分かります。
右の部分は直線x＝(a＋b)/2、接線l:y＝2kaｘ－ka^2、放物線y=kx^2で囲まれてます。
この部分を便宜上I_(1)とでもしましょうか。
左の部分は直線x＝(a＋b)/2、接線m:y＝2kbｘ－kb^2、放物線y=kx^2で囲まれてます。
この部分を便宜上I_(2)とでもします。
一般的に二つの関数、f(x)とg(x)の間の面積Iは積分区間をaからbとして、

I＝∫_a^b　{ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）｝ｄｘ
(註:f(x)＞g(x))

で求められます。コレを利用すると、

I_(1)＝∫_(a＋b)/2^a{kx^2－2kaｘ＋ka^2}dx
I_(2)＝∫_b^(a＋b)/2{kx^2－2kbｘ＋kb^2}dx

そしてI＝I_(1)＋I_(2)となります。
と言うわけで、アトはご自分で計算してみて下さい。この『計算過程』をパソコンで
打つのはちょっとシンドイです(苦笑)。
ちなみに答えは

･I＝{k(a－b)^3}/12

になるハズです。