質問<2264>2005/4/3
放物線y=kx^2(k>0)上に異なる2点P(a,ka^2)、Q(b,kb^2)(a>b)がある。 (1)点Pにおける接線l、および点Qにおける接線mの方程式を求めよ。 (2)lとmの交点Rの座標を求めよ。 (3)l、mと放物線y=kx^2とで囲まれた部分の面積をa、bを用いて表せ。 よろしくおねがいします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/4/8
from=亀田馬志
まず一次関数に付いて。 傾きaで点(x_(0)、y_(0))を通る直線は ・y-y_(0)=a(x-x_(0))・・・・・・① で表されます。コレはイイですよね? この一般の直線がどう言う傾きを持ってどの点を通るのか、って事で直線の式が 決定されます。 この問題の最初は、別の関数の『ある点に於いての傾き』がこの直線の傾きと 一致してて、かつその『ある点を共有してる』って事です。それが『接線』って 意味です。それでは順次見て行ってみましょう。 >放物線y=kx^2(k>0)上に異なる2点P(a,ka^2)、Q(b,kb^2)(a>b)がある。 (1)点Pにおける接線l、および点Qにおける接線mの方程式を求めよ。 まず放物線y=kx^2(k>0)の『傾き』を見てみます。これは微分してみればすぐに 分かります。 ・dy/dx=2kx…② つまり放物線y=kx^2に於いては、その『傾き』自体がxの関数である、って事が 分かります。そしてxが決定しなければ傾きの実値、ってのも分からない、って 事ですよね。 まず接線lを見てみましょうか。接線lってのは次の条件を満たしてる、って事です。 『接線lは点P(x_(0)、y_(0))=(a,ka^2)を通り、点P(a,ka^2)に於ける 放物線y=kx^2の傾きを共有する直線である』 取りあえず『点P(a,ka^2)に於ける放物線y=kx^2の傾き』を求めてみましょうか。 ②に与えられたx、この場合はaですよね?を代入すれば分かります。 ・点P(a,ka^2)に於ける放物線y=kx^2の傾き=2ka これが接線lの傾きでもある、って事です。アトは①の式にそれぞれ当てはめれば 完了です。 ・y-ka^2=2ka(x-a) ∴y=2kax-ka^2・・・(接線l) 同じような考え方で接線mも求めてみてください。 ちなみに接線mは ・y=2kbx-kb^2 となるハズです。 (2)lとmの交点Rの座標を求めよ。 連立方程式の問題です。つまり共有する(x、y)の値を求めればイイ、って事 ですよね?そこで接線lと接線mを並べてみます。 ・y=2kax-ka^2…③ ・y=2kbx-kb^2…④ 書き換えます。 ・2kax-y=ka^2…③' ・2kbx-y=kb^2…④' 行列にしちゃいます。 (2ka -1)(x) (ka^2) ・(2kb -1)(y)=(kb^2)・・・⑤ ワンパターンなんですが『クラメールの公式』を使います。好きなんですよ(笑)。 (解き方は行列の項目に記載されてる様です。) 『機械的に何も考えないで解く』には簡便なんですよね。まあ、これを機会に 慣れてください。解は ・点R(x,y)=((a+b)/2,kab) となるハズです。確かめてみてください。 3)l、mと放物線y=kx^2とで囲まれた部分の面積をa、bを用いて表せ。 これは・・・図書けば簡単なんですけどね~~~。 取りあえずk>0って条件とa>bって条件により、点Rを頂点とした『逆三角形の様に に見える』部分の面積を求めればイイワケなんですが ・・・・・・文章で書くとメンド臭いな。 ええと、単純に言うと、x=(a+b)/2で分けられた右の部分の面積と左の部分の 面積を別々に求めて、最後にそれを足してやればイイ、って事です。a>bに拠り 右の部分はa絡み、左の部分はb絡み、ってのがコレで分かります。 右の部分は直線x=(a+b)/2、接線l:y=2kax-ka^2、放物線y=kx^2で囲まれてます。 この部分を便宜上I_(1)とでもしましょうか。 左の部分は直線x=(a+b)/2、接線m:y=2kbx-kb^2、放物線y=kx^2で囲まれてます。 この部分を便宜上I_(2)とでもします。 一般的に二つの関数、f(x)とg(x)の間の面積Iは積分区間をaからbとして、 I=∫_a^b {f(x)-g(x)}dx (註:f(x)>g(x)) で求められます。コレを利用すると、 I_(1)=∫_(a+b)/2^a{kx^2-2kax+ka^2}dx I_(2)=∫_b^(a+b)/2{kx^2-2kbx+kb^2}dx そしてI=I_(1)+I_(2)となります。 と言うわけで、アトはご自分で計算してみて下さい。この『計算過程』をパソコンで 打つのはちょっとシンドイです(苦笑)。 ちなみに答えは ・I={k(a-b)^3}/12 になるハズです。