質問

g(x)は最高次の係数が１であるxの整式であって、
g(x^2)＝{g(x)-ax-b}(x^2-x+2)
（a、bは生の定数）が成り立っている。
このとき、g(x)の次数およびa、bの値を求めよ｡
この問題について教えて下さい！！！

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／２９
from=KINO

基本的に，次数が m の整式と次数が n の整式の積の整式の次数は m+n になります。
このことを用いて g(x) の次数を求めることができますが，
g(x) が 0 次式や 1 次式のとき，g(x)-ax-b が1次式とは限らず，0次式になる可能性
も考慮しなければなりません。よって g(x) の次数が 0 または 1 に等しい可能性は
別に検証しなければなりません。

g(x) の次数が 0 のとき。
g(x)=1 とおけます。与えられた等式より
1={-ax-(b-1)}(x^2-x+2).
両辺を展開して係数を比較してみましょう。
右辺は -ax^3+{a-(b-1)}x^2+{-2a+(b-1)}x-2(b-1).
よって -a=0, a-(b-1)=0, -2a+(b-1)=0, -2(b-1)=1.
最初の 2 式より a=0, b=1 が出てきますが，これは -2(b-1)=1 に矛盾します。
したがって g(x) の次数は 0 ではありません。

g(x) の次数が 1 のとき。
g(x)=x+c とおけます。
g(x^2)=x^2+c, {g(x)-ax-b}(x^2-x+2)={(1-a)x+(c-b)}(x^2-x+2)
=(1-a)x^3+{-(1-a)+(c-b)}x^2+{2(1-a)-(c-b)}x+2(c-b).
両辺の係数を比較して，
0=1-a, -(1-a)+(c-b)=1, {2(1-a)-(c-b)}=0, 2(c-b)=c.
まず a=1 がわかりますので，これを代入していくと，
c-b=1, c-b=0, c-2b=0. c-b=1 と c-b=0 という2式は両立し得ませんので，
g(x) の次数は 1 ではありません。

g(x) の次数が 0 または 2以上の整数のとき。
g(x) の次数を n とおくと，g(x^2) の次数は 2n です。
また，n≠1 より g(x)-ax-b の次数は変わらず n ですので，{g(x)-ax-b}(x^2-x+2) 
の次数は n+2 になることから，両辺の整式の次数について 2n=n+2 が成り立たなけ
ればなりません。
よって n=2 しか考えられません。

というわけで，g(x)=x^2+cx+d とおいて考えます。
g(x^2)=x^4+cx^2+d，{g(x)-ax-b}(x^2-x+2)={x^2+(c-a)x+(d-b)}(x^2-x+2)
=x^4+(c-a-1)x^3+(2-c+a+d-b)x^2+{2(c-a)-(d-b)}x+2(d-b)
となるので，両辺の係数を比較して
0=c-a-1, c=2-c+a+d-b, 0=2(c-a)-(d-b), d=2(d-b).
まず，c=a+1 を用いて c を消去します。
a+1=1+d-b, d-b=2, d-2b=0.
後ろの2式から，b=2, d=4 を得て，a=2 となり，c=3 を得ます。
よって，答えは
  g(x) の次数が 2, a=b=2 となります。

お便り２００５／５／１
from=wakky