質問<2308>2005/4/25
xの方程式4^x-a・2^(x+2)+a+3=0がx≦2の異なる2つの解をもつとき、 定数aの値の範囲を求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2005/4/29
from=KINO
t=2^x とおくと,x の方程式は t^2-4at+a+3=0 と t の2次方程式になります。 x≦2 をみたす実数 x に対して,t=2^x は 0<t≦2^2=4 という範囲の値を取り得ます。 また,t=2^x, s=2^y に対して,t≠s ならば x≠y ですので,解くべき問題は t^2-4at+a+3=0 が 0<t≦4 の範囲で異なる 2 つの実数解を持つような定数 a の条件を 求めること,と言い換えられます。 これはもはや2次方程式の理論ですので,議論は詳細に書きませんが, s=t^2-4at+a+3 のグラフがどうなっていればよいか ts 平面に図を描いて考えると, (1) 区間の左端でグラフが t 軸の上方にあり,区間の右端ではグラフが t 軸上か それよりも上方にあり, (2) 軸が区間 (0,4) を横切り,頂点が t 軸の下方にあればよい ことがわかります。 (1) より,t=0 を代入したときの s の値について a+3>0 であることと, t=4 を代入したときの s の値について -15a+19≧0 であることが出てきます。 これらより,-3<a<19/15. s=(t-2a)^2-4a^2+a+3 より,グラフの頂点の座標は (2a,-4a^2+a+3) なので, 軸の条件より 0<2a<4 かつ -4a^2+a+3<0 となります。 これらより,まず 0<a<2. そして 4a^2-a-3=(4a+3)(a-1) と因数分解できることから, -4a^2+a+3<0 より (a+3/4)(a-1)>0. これより a<-3/4 または 1<a. (2) から得られる範囲は 1<a<2 となります。 (1),(2) の a の範囲の共通部分が答えになりますが,1<19/15<2 より, 答えは 1<a<19/15 となります。
お便り2005/4/29
from=wakky