質問＜２３０８＞２００５／４／２５
from=ティガ
「指数」

xの方程式4^x-a･2^(x+2)+a+3=0がx≦2の異なる２つの解をもつとき、
定数aの値の範囲を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／２９
from=KINO

t=2^x とおくと，x の方程式は t^2-4at+a+3=0 と t の2次方程式になります。
x≦2 をみたす実数 x に対して，t=2^x は 0＜t≦2^2=4 という範囲の値を取り得ます。
また，t=2^x, s=2^y に対して，t≠s ならば x≠y ですので，解くべき問題は
t^2-4at+a+3=0 が 0＜t≦4 の範囲で異なる 2 つの実数解を持つような定数 a の条件を
求めること，と言い換えられます。

これはもはや2次方程式の理論ですので，議論は詳細に書きませんが，
s=t^2-4at+a+3 のグラフがどうなっていればよいか ts 平面に図を描いて考えると，
(1) 区間の左端でグラフが t 軸の上方にあり，区間の右端ではグラフが t 軸上か
それよりも上方にあり，
(2) 軸が区間 (0,4) を横切り，頂点が t 軸の下方にあればよい
ことがわかります。

(1) より，t=0 を代入したときの s の値について a+3＞0 であることと，
t=4 を代入したときの s の値について -15a+19≧0 であることが出てきます。
これらより，-3＜a＜19/15.

s=(t-2a)^2-4a^2+a+3 より，グラフの頂点の座標は (2a,-4a^2+a+3) なので，
軸の条件より 0＜2a＜4 かつ -4a^2+a+3＜0 となります。
これらより，まず 0＜a＜2. そして 4a^2-a-3=(4a+3)(a-1) と因数分解できることから，
-4a^2+a+3＜0 より (a+3/4)(a-1)＞0. これより a＜-3/4 または 1＜a.
(2) から得られる範囲は 1＜a＜2 となります。

(1)，(2) の a の範囲の共通部分が答えになりますが，1＜19/15＜2 より，
答えは 1＜a＜19/15 となります。

お便り２００５／４／２９
from=wakky