質問＜２３７３＞２００５／５／２２
私は、今学校で指数関数について習っています。 しかし３の3分の2乗という数が、存在するなんて考えられません。 なぜそのような数が存在するのですか？ ★希望★完全解答★
お便り２００５／５／２７
from=UnderBird
しかし３の3分の2乗という数が、存在するなんて考えられません。 存在するか？という質問がとーっても難しい問題だと思う一方で、あなたの質問の 意味が、「３を3分の2乗するなんてどうやっても考えられない」という気持ちから ならば、少々参考になるかもしれません。 まず、３乗根９という数（3乗したら９になる数）は想像できますか（認められます か？）まだ、ｙ＝ｘ^3のグラフは正式に学習していませんが、グラフを利用すると 3乗したら９になる数ｘが存在することは納得してもらえると思います。（大学の数 学では、グラフでこうだから・・・というのでは証明になっていませんので、あく まで直感的に認めてください） さて、３の3分の2乗というものですが、これをとにかく３乗してみましょう。私 たちは指数法則が有理数でも成り立つ（矛盾が起こらない）ように、この３の3分の 2乗ってものを考えていきたいわけです。 すると、指数法則よりこれが３^2＝９となることから、この３の3分の2乗ってもの は、3乗して９になる数、すなわち３乗根９を表すものと考えてよいとなったわけ です。ですから、３の3分の2乗という表記されたものは、３乗根９を表すもう一つ の表現方法と考えればいかがでしょうか？
お便り２００５／５／２７
from=亀田馬志
僕も昔学校でオイラーの公式について習ったんですよ。しかし自然対数eのi(虚数)乗 という数が存在するなんて考えられません(笑)。なんでそのような数が存在するんで しょう?あはははは(笑)。 いや、失礼。決して『馬鹿にしてる』ワケじゃないんです。むしろこの質問はかなり 『高度な質問』なんじゃないかな?と言うか、『数学』の一側面に対しての本質を付い てると思います。単に『3の3分の2乗』の説明してもあまり芸が無いんで、ちょっと 雑談して行きましょう。 前別のトコ(質問＜２３１６＞２００５／５／１)でも書いたんですが、極論数学で扱 う『数』ってのは ･『存在してる/してない』 ってのはあまり関係無いんです(笑)。原則的にみんな『人間側』が勝手に決めた約束 事、つまり『定義』ですね、それの一般化を狙って体系を作るのが数学の少なくとも 一つの側面なんです。 ちょっと次の文章を考えてみて下さい。 『リンゴがテーブルの上に－1個あります。』 これって意味分かりますか?ちょっと考えてみて下さい。答えは60秒後(笑)。 はい。ハッキリ言って『テーブルの上にリンゴが－1個あります』なんて状況は『あ り得ない』です(笑)。僕等が分かるのはニュアンスだけですよね(笑)。 ちょっと次のようなシチュエーションを考えてみます。 『テーブルの上にリンゴが2個あります。ここで3人の人間がリンゴを1つづつ食べま した。残ったリンゴは何個でしょう?』 とか言う問題を作るとします。まあ、現実には起こらないですよね。僕の解答なら 『殴り合い』です(笑)。じゃなけりゃあ、リンゴフツーは包丁持ってきて人数分キ チンと切るよ(笑)。全部一人で食べんのはジャイアンくれえだろ(笑)。しかも残っ たリンゴは絶対『－1個』にはなりません(笑)。単なるゼロです(笑)。 しかしながら『数学的』には『－1個』って解は許されるんです。それは一体何故な んでしょうか? それは元々『整数』ってのが『自然数って概念の拡張』によって『人間が勝手に決 めた』モノだからです。つまり『現実に即応してるかどうか』ってのはあんま関係 無いですし、二の次です。ちょっと次の例を見てみましょう。 問) 2－3を解け。 コレは恐らく4,000年くらい前の人類なら(笑)、『解はありません』って答えていた と思います。何故なら2から3は引けないですし、ましてや『ゼロ』なんて概念も存在 していなかった。こんなのは『解が存在しない』質問だったんです。 一方現代人の僕等は答えられますよね。何故か?それは『四則演算が成り立つように 負の整数』ってのを『定義』したから、なんです。つまり『足し算、引き算、掛け算、 割り算が成り立つように』新しく勝手に『数字を作っちゃった』んです。ココがポイ ントです。 良く最初、(小学校のトキかな?)初めて『負の整数』ってのを教わるトキ、『概念』 を説明すんのに『温度計があるでしょ?マイナスの温度とかありますよね』とか算数 の先生が大ウソ言って誤魔化しますが(笑)、アレも実際は全然逆で、ホントは『概 念』が先にあって、摂氏の温度計をああやって設定したに過ぎないんです。アレ慣れ ると華氏(ファーレンハイト)の温度計なんて全然ワケ分かんないですし(笑)、『じゃ あ絶対零度で定義した温度のマイナスって何なんだ?』とか(笑)、『負の質量なんて あるのか?』だとか(笑)、ちょっと『理論物理』に片足突っ込みそうなアブない話題 が出てきます。たまたま『摂氏温度計』の場合は(少なくとも日本に於いては)『負 の整数』の数学的概念が『一般普及した』に過ぎないんですよね。要するに『数学的 抽象概念』の『応用』に過ぎないんです。 お分かりでしょうか?例えばガウスさんが『虚数iが実在するのかどうか』悩んだ経緯 があるかどうか知りませんが、実際『虚数i』って概念を『積極的に利用しよう』っ てなったのも実はここ300年～400年以内の話なんです。(確かオイラーがオフィシャ ルに出版物等で使い出したのが近年では最初。しかしながら“存在”はそれ以前から 知られてはいた。が議題がアブなそうなんで数学の主要なテーマにはなり得なかっ た。) ってなワケでその意味は学校で『イヤ』と言うほど叩き込まれてるでしょうから、敢 えてその『計算上の意味』ってのは書きませんが(と言うよりクドくなるでしょ?参考 書で書かれてるような事をここに書かれても。)、 『３の3分の2乗という数が、存在する/しない』 ってのが問題なんじゃなくって、 『指数の乗数上の乗法/除法が成り立つように』３の3分の2乗って数が『定義され てる』って言った方が正しいです。人間側が勝手に決めた『ルール』なんですよ。 その『ルールに則ってゲームをすると』ってのが今ガウスさんが勉強してる『指数 関数』って項目なんです。 結構いっつも乱暴な事書いてますが、許してください(笑)。お詫びにちょっと余 談を。 昔チラ、って読んだ本に次の様な事を書いてました。 『通常n次元空間と言うモノを定義する場合nは必ず整数となる』 まあ、コレはイイですよね。3次元空間に僕等は住んでますし、相対性理論上は4次 元空間に僕等は住んでます。ホントはいわゆる『空間』で解釈するのは間違いなん ですが、(と言うのも数学で言う空間＝spaceってのは現代数学上“平面上の”とか “立体上の”ってのを特に意味するワケではありません。一次独立な基底ベクトル が何個あるのか、ってのが問題なんであって、コレらは本当は“集合論”に属しま す。良く知りませんが･笑。つまり“ベクトル”って概念も今や“方向と量”を意 味するワケでも無いんです。一方僕等が普通扱うベクトルは幾何学用に特化した 特に“幾何ベクトル”と読んで“一般化された概念上のベクトル”とは区別して います。)数学的には『5次元』であろうが『6次元』であろうがはたまた『n次元』 であっても構わないんですね。『nが整数であれば』。数学者ってスゴイですね(笑)。 ところがどっこい、その本では次のような事を言い出した輩までいるらしい(笑)。 『しかしながら分数で表されるn/m次元を主張しだした人間がいる』 もうぶっ飛びまくりです(笑)。まあ、『概念』ってのは抽象的なモンなんで、どこ までも『拡張する/出来る』ならやって下さい(笑)。そのウチ(多分今後200年くら いで･笑?)『実用的』レベルまで下がってくるかも(笑)。 ちなみにその『分数次元』を通称『フラクタル』と言うらしいです(笑)。(聞いた事 あるでしょうか?)