質問<2377>2005/5/22
a,b,c,dを整数とする。 整式f(x)=ax^3+bx^2+cx+dにおいて、 f(-1),f(0),f(1)がいずれも3で割り切れないならば、 方程式f(x)=0は整数の解を持たないことを証明せよ。 対偶法や背理法など色々と考えたんですが、 わかりませんでした。 この場合どのような方法でするのが必然的な方法でしょうか? お願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/5/28
from=honda
ポイントは 整数を3で割ると 余りが0か1か2になることです こういう抽象的な問題は 実際に 整数係数で整数解をもつ方程式f(x)=0を作ってみて f(0),f(-1),f(1)を計算してみて 反例がないか探します. f(x)=(x-1)(x-5)(x+5)とか適当にやって f(0),f(-1),f(1)を計算すると 「なぜ3の倍数が出てくるか」 見えてきます n次方程式にも一般化できますね,多分 対偶,すなわち, 整数解があれば,f(0),f(1),f(-1)の 少なくとも1は3の倍数となる を示します. 整数解nを3で割ると n=3k+r (r=0,1,2) と表されます. 一方,nはf(x)=0の解なので,f(x)は整数係数なので f(x)=a(x-n)g(x) gは2次の整数係数の多項式 と表されます (i) r=0のとき f(0)=a(-n)g(0)=a(-3k)g(0)=3(-akg(0)) -akg(0)は整数なのでf(0)は3の倍数 (ii)r=1のとき f(1)=a(1-3k-1)g(0)=3(-akg(0)) -akg(0)は整数なのでf(1)は3の倍数 (ii)r=2のとき f(-1)=a(-1-3k-2)g(0)=3(-a(k+1)g(0)) -a(k+1)g(0)は整数なのでf(-1)は3の倍数 以上,(i),(ii),(iii)より 整数解があれば,f(0),f(1),f(-1)の 少なくとも1は3の倍数となる よって題意は示された