質問

a,b,c,dを整数とする。
整式f(x)=ax^3+bx^2+cx+dにおいて、
f(-1),f(0),f(1)がいずれも３で割り切れないならば、
方程式f(x)=0は整数の解を持たないことを証明せよ。

対偶法や背理法など色々と考えたんですが、
わかりませんでした。
この場合どのような方法でするのが必然的な方法でしょうか？
お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／５／２８
from=honda

ポイントは
整数を3で割ると
余りが0か1か2になることです

こういう抽象的な問題は
実際に
整数係数で整数解をもつ方程式f(x)=0を作ってみて
f(0)，f(-1)，f(1)を計算してみて
反例がないか探します．
f(x)=(x-1)(x-5)(x+5)とか適当にやって
f(0)，f(-1)，f(1)を計算すると
「なぜ3の倍数が出てくるか」
見えてきます
n次方程式にも一般化できますね，多分

対偶，すなわち，

整数解があれば，f(0)，f(1)，f(-1)の
少なくとも1は3の倍数となる

を示します．

整数解nを3で割ると
n=3k+r (r=0,1,2)
と表されます．
一方，nはf(x)=0の解なので，f(x)は整数係数なので

f(x)=a(x-n)g(x)
gは2次の整数係数の多項式

と表されます

(i) r=0のとき
f(0)=a(-n)g(0)=a(-3k)g(0)=3(-akg(0))
-akg(0)は整数なのでf(0)は3の倍数

(ii)r=1のとき
f(1)=a(1-3k-1)g(0)=3(-akg(0))
-akg(0)は整数なのでf(1)は3の倍数

(ii)r=2のとき
f(-1)=a(-1-3k-2)g(0)=3(-a(k+1)g(0))
-a(k+1)g(0)は整数なのでf(-1)は3の倍数

以上，(i)，(ii)，(iii)より
整数解があれば，f(0)，f(1)，f(-1)の
少なくとも1は3の倍数となる

よって題意は示された