質問＜２４０３＞２００５／６／３
from=♪
「幾何学」

幾何学についてですが、問題の意図していることがわからないので教えてください。

＃（Ｒ）＝＃（[0,1)）により、ｆ：Ｒ→[0,1)が存在する。
また、＃（Ｎ）＝＃（Ｚ）により、
全単射ｇ：Ｎ→Ｚが存在する。
これらのことを使って、
２つの集合Ｎ×Ｒ,Ｒの間に全単射をつくり対等であることを示せ。

お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／１１
from=KINO

もう一つ，任意の実数 a に対し，[a,a+1) から [0,1) への全単射が存在することに
注意します。
これは，x∈[a,a+1) とすると，x-a∈[0,1) なので，h(x)=x-a がその全単射である
ことからわかります。

さて，実数全体を，[m,m+1) という区間に分割します。ここで，m∈Z. すなわち，
R=∪[m∈Z][m,m+1) と互いに素な区間の和に分割します。ここで，g によって N と 
Z に一対一の対応がつくことから，R=∪[n∈N][g(n),g(n)+1) と書き換えることが
出来ます。
こうすると，次のように F:N×R→R を構成すればよいことがわかります。
「(n,x)∈N×R に対し，F(n,x)=g(n)+f(x) と定める。」
要するに，(n,x) を，区間 [g(n),g(n)+1) の一点に対応させることにするわけです。

F が全単射であることの確認は難しくありません。