質問<2403>2005/6/3
幾何学についてですが、問題の意図していることがわからないので教えてください。 #(R)=#([0,1))により、f:R→[0,1)が存在する。 また、#(N)=#(Z)により、 全単射g:N→Zが存在する。 これらのことを使って、 2つの集合N×R,Rの間に全単射をつくり対等であることを示せ。 お願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/6/11
from=KINO
もう一つ,任意の実数 a に対し,[a,a+1) から [0,1) への全単射が存在することに 注意します。 これは,x∈[a,a+1) とすると,x-a∈[0,1) なので,h(x)=x-a がその全単射である ことからわかります。 さて,実数全体を,[m,m+1) という区間に分割します。ここで,m∈Z. すなわち, R=∪[m∈Z][m,m+1) と互いに素な区間の和に分割します。ここで,g によって N と Z に一対一の対応がつくことから,R=∪[n∈N][g(n),g(n)+1) と書き換えることが 出来ます。 こうすると,次のように F:N×R→R を構成すればよいことがわかります。 「(n,x)∈N×R に対し,F(n,x)=g(n)+f(x) と定める。」 要するに,(n,x) を,区間 [g(n),g(n)+1) の一点に対応させることにするわけです。 F が全単射であることの確認は難しくありません。