質問<241>2000/3/26
毎回丁寧に答えていただいてありがとうございます。 二次の正方行列Αについてその固有値をα,βとし、α,βに対応する 固有ベクトルをそれぞれ(p),(r)として (q) (s) P=(p r)を作るとP^(-1)ΑP=(α 0)になると参考書に書いて (q s) (0 β) あったのですが、何でそうなるのですか。 僕は高校生ですので、絶対理解できないんじゃなければ是非知りたいです。
お返事2000/3/26
from=武田
A=(a b)とすると、固有値αに対して固有ベクトル(p) (c d) (q) また、固有値βに対して固有ベクトル(r)より、 (s) (a b)(p)=α(p)……① (c d)(q) (q) そして (a b)(r)=β(r)……② (c d)(s) (s) 1 (s -r) P=(p r)とおくと、逆行列P-1=─────(-q p)より、 (q s) ps-qr 1 (s -r)(a b)(p r) P-1AP=─────(-q p)(c d)(q s) ps-qr ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^上の①②より 1 (s -r)(αp βr) =─────(-q p)(αq βs) ps-qr ^^^^^^^^^^^^^^ 1 ( sαp-rαq sβr-rβs) =─────(-qαp+pαq -qβr+pβs) ps-qr 1 (α(sp-rq) 0 ) =─────( 0 β(-qr+ps)) ps-qr =(α 0) (0 β) したがって、 2次の正方行列Aは、その固有ベクトルで作った行列Pとその逆行列P-1 により挟まれた計算P-1APにより、対角に固有値がくる行列となる。