質問＜２４２＞２０００／３／２７
from=だいすけ
「数列＆関数」

問１(1)ｘ＋２ｙ＋３＝０のとき、ｘｙの最大値を求めよ。
　　(2)ｘ≧０，ｙ≧０，ｘ＋ｙ＝４のときｘのとりうる値の範
　　　囲を求めよ。また、ｘ＾２＋ｙ＾２の最大値、最小値とそ
　　　のときのｘ、ｙの値を求めよ。

問２(1)方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝８の負でない整数解ｘ、ｙ、ｚの組
　　　 の個数を求めよ。

　　(2)方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝８の正の整数解ｘ、ｙ、ｚの組の個
　　　 数を求めよ。　

お返事２０００／３／２８
from=武田

問１
（１）ｘ＋２ｙ＋３＝０より、ｘ＝－２ｙ－３
　　　ｘｙに代入して、
　　　ｘｙ＝（－２ｙ－３）ｙ＝－２ｙ2－３ｙ
　　　　　　　　　　　 ３　　　　　　　　 ３　　　９　　９
　　　　　＝－２（ｙ2＋─ｙ）＝－２（ｙ2＋─ｙ＋──－──）
　　　　　　　　　　　 ２　　　　　　　　 ２　　１６　１６
　　　　　　　　　　　３　　 ９
　　　　　＝－２（ｙ＋─）2＋─
　　　　　　　　　　　４　　 ８
　　　　　　３　　　　　　　　　　　９
　　　ｙ＝－─のとき、ｘｙの最大値は─　……（答）
　　　　　　４　　　　　　　　　　　８

（２）ｘ＋ｙ＝４より、ｙ＝－ｘ＋４
　　　ｘ2＋ｙ2に代入して、
　　　ｘ2＋ｙ2＝ｘ2＋（－ｘ＋４）2＝ｘ2＋ｘ2－８ｘ＋１６
　　　　　　　＝２ｘ2－８ｘ＋１６
　　　　　　　＝２（ｘ2－４ｘ）＋１６
　　　　　　　＝２（ｘ2－４ｘ＋４－４）＋１６
　　　　　　　＝２（ｘ－２）2－８＋１６
　　　　　　　＝２（ｘ－２）2＋８
　　　ｘ＝２のときｘ2＋ｙ2の最小値は８
　　　下に凸の放物線なので、
　　　ｘ＝０，４のとき、ｘ2＋ｙ2の最大値は１６
　　　最大値をもつのは、ｘ＝０，ｙ＝４またはｘ＝４，ｙ＝０
　　　最小値をもつのは、ｘ＝２，ｙ＝２　のときである。……（答）

問２
（１）ｘ＋ｙ＋ｚ＝８の負でない整数ｘ，ｙ，ｚの組を全部書き出すと、
　　　ｘ　ｙ　ｚ　｜　ｘ　ｙ　ｚ　｜　ｘ　ｙ　ｚ　｜　ｘ　ｙ　ｚ
　　　０　０　８　｜　１　０　７　｜　２　０　６　｜　３　０　５
　　　０　１　７　｜　１　１　６　｜　２　１　５　｜　３　１　４
　　　０　２　６　｜　１　２　５　｜　２　２　４　｜　３　２　３
　　　０　３　５　｜　１　３　４　｜　２　３　３　｜　３　３　２
　　　０　４　４　｜　１　４　３　｜　２　４　２　｜　３　４　１
　　　０　５　３　｜　１　５　２　｜　２　５　１　｜　３　５　０
　　　０　６　２　｜　１　６　１　｜　２　６　０　｜
　　　０　７　１　｜　１　７　０　｜
　　　０　８　０

　　　ｘ　ｙ　ｚ　｜　ｘ　ｙ　ｚ　｜　ｘ　ｙ　ｚ　｜　ｘ　ｙ　ｚ
　　　４　０　４　｜　５　０　３　｜　６　０　２　｜　７　０　１
　　　４　１　３　｜　５　１　２　｜　６　１　１　｜　７　１　０
　　　４　２　２　｜　５　２　１　｜　６　２　０　｜
　　　４　３　１　｜　５　３　０　｜　　　　　　　　　ｘ　ｙ　ｚ
　　　４　４　０　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　８　０　０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（９＋１）９
個数は、９＋８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝───────＝４５個……（答）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

（２）ｘ＋ｙ＋ｚ＝８の正の整数ｘ，ｙ，ｚの組を全部書き出すと、
　　　　ｘ　ｙ　ｚ　｜　ｘ　ｙ　ｚ　｜　ｘ　ｙ　ｚ
　　　　１　１　６　｜　２　１　５　｜　３　１　４
　　　　１　２　５　｜　２　２　４　｜　３　２　３
　　　　１　３　４　｜　２　３　３　｜　３　３　２
　　　　１　４　３　｜　２　４　２　｜　３　４　１
　　　　１　５　２　｜　２　５　１　｜
　　　　１　６　１　｜

　　　ｘ　ｙ　ｚ　｜　ｘ　ｙ　ｚ　｜　ｘ　ｙ　ｚ
　　　４　１　３　｜　５　１　２　｜　６　１　１
　　　４　２　２　｜　５　２　１　｜
　　　４　３　１　｜

　　　　　　　　　　　　　　　　（６＋１）６
個数は、６＋５＋４＋３＋２＋１＝───────＝２１個……（答）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２