質問<242>2000/3/27
問1(1)x+2y+3=0のとき、xyの最大値を求めよ。 (2)x≧0,y≧0,x+y=4のときxのとりうる値の範 囲を求めよ。また、x^2+y^2の最大値、最小値とそ のときのx、yの値を求めよ。 問2(1)方程式x+y+z=8の負でない整数解x、y、zの組 の個数を求めよ。 (2)方程式x+y+z=8の正の整数解x、y、zの組の個 数を求めよ。
お返事2000/3/28
from=武田
問1 (1)x+2y+3=0より、x=-2y-3 xyに代入して、 xy=(-2y-3)y=-2y2-3y 3 3 9 9 =-2(y2+─y)=-2(y2+─y+──-──) 2 2 16 16 3 9 =-2(y+─)2+─ 4 8 3 9 y=-─のとき、xyの最大値は─ ……(答) 4 8 (2)x+y=4より、y=-x+4 x2+y2に代入して、 x2+y2=x2+(-x+4)2=x2+x2-8x+16 =2x2-8x+16 =2(x2-4x)+16 =2(x2-4x+4-4)+16 =2(x-2)2-8+16 =2(x-2)2+8 x=2のときx2+y2の最小値は8 下に凸の放物線なので、 x=0,4のとき、x2+y2の最大値は16 最大値をもつのは、x=0,y=4またはx=4,y=0 最小値をもつのは、x=2,y=2 のときである。……(答) 問2 (1)x+y+z=8の負でない整数x,y,zの組を全部書き出すと、 x y z | x y z | x y z | x y z 0 0 8 | 1 0 7 | 2 0 6 | 3 0 5 0 1 7 | 1 1 6 | 2 1 5 | 3 1 4 0 2 6 | 1 2 5 | 2 2 4 | 3 2 3 0 3 5 | 1 3 4 | 2 3 3 | 3 3 2 0 4 4 | 1 4 3 | 2 4 2 | 3 4 1 0 5 3 | 1 5 2 | 2 5 1 | 3 5 0 0 6 2 | 1 6 1 | 2 6 0 | 0 7 1 | 1 7 0 | 0 8 0 x y z | x y z | x y z | x y z 4 0 4 | 5 0 3 | 6 0 2 | 7 0 1 4 1 3 | 5 1 2 | 6 1 1 | 7 1 0 4 2 2 | 5 2 1 | 6 2 0 | 4 3 1 | 5 3 0 | x y z 4 4 0 | 8 0 0 (9+1)9 個数は、9+8+7+6+5+4+3+2+1=───────=45個……(答) 2 (2)x+y+z=8の正の整数x,y,zの組を全部書き出すと、 x y z | x y z | x y z 1 1 6 | 2 1 5 | 3 1 4 1 2 5 | 2 2 4 | 3 2 3 1 3 4 | 2 3 3 | 3 3 2 1 4 3 | 2 4 2 | 3 4 1 1 5 2 | 2 5 1 | 1 6 1 | x y z | x y z | x y z 4 1 3 | 5 1 2 | 6 1 1 4 2 2 | 5 2 1 | 4 3 1 | (6+1)6 個数は、6+5+4+3+2+1=───────=21個……(答) 2