質問＜２８３３＞２００６／１／９
from=yasu
「集合・分配法則等」

(1)①ａ 集合A,B,Cに関して、分配法則

(ア) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
(イ) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
が成り立つことを示せ.（ベン図による証明は不可）

　　 ｂ 集合A,B,Cに関し,次の性質が成り立つことを示せ。
　　　　(分配法則を用いてよい.)
(ア) C⊂A⇔A∩(B∪C)=(A∩B)∪C
(イ) A=B⇔A∪C=B∪CかつA∩B=B∩C

以上の問題です。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／１４
from=Cononymous Award

(a)
  (ア) まず、A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C) を示す。
           x \in A ならば、x \in (A \cup B) であり x \in (A \cup C) .
           x \in (B \cap C) ならば x \in B だから x \in (A \cup B) であり
               x \in C だから x \in (A \cup C) である。
       A \cup (B \cap C) \supset (A \cup B) \cap (A \cup C) を示す。
           x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) とする。
               x \in A ならば x \in A \cup (B \cap C) .
               x \not \in A としよう。
                   x \in (A \cup B) であるが、x \not \in A より X \in B ,
                   また x \in (A \cup C) より X \in C .
                   よって X \in (B \cap C) , よって X \in A \cup (B \cap C) .
  (イ) (ア) と同様。

(b) (\Rightarrow) はいずれも明らか。(\Leftarrow) を示す。
  (ア) C \not \subset A とすると、\exists x \in C \setminus A .
       x \in (右辺) だが x \not \in (左辺) .
  (イ) A \neq B ならば、\exists x \in A \setminus B または
       \exists x \in B \setminus A .
       前者であるとしよう。
           x \in C ならば x \in A \cap C だが x \not \in A \cap B ,
           x \not \in C ならば x \in A \cup C だが x \not \in A \cup B .