質問＜２９１＞２０００／７／２８
from=Hiroaki Nagano
「関数」

数直線上で定義された関数Ｆ（Ｘ）が次の２条件を満たしているとする。
　（Ａ）任意の実数Ｘ１，Ｘ２に対し
　　　　Ｆ（Ｘ１＋Ｘ２）＝Ｆ（Ｘ１）＋Ｆ（Ｘ２）＋２Ｘ１Ｘ２－ｂ
　　　　が成立する。
　（Ｂ）Ｆ（Ｘ）はＸ＝０において微分可能でＦ’（０）＝ａである。
　　　　ただし、ａ，ｂは定数とする。
 
（１）任意の実数Ｘにおいて
　　　極限値 ｌｉｍ ｈ→０［｛Ｆ（Ｘ＋ｈ）－Ｆ（Ｘ）｝／ｈ］が存在する
　　　ことを示せ。また、その値をＸを用いて表せ。
（２）Ｆ（Ｘ）が極値をとるときのＸの値を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［００ 三重大・教（後期）］
 
答えは（１）２Ｘ＋ａ （２）Ｘ＝－ａ／２ になるらしいのですが、
詳しい解き方と考え方を教えて下さい。お願いします。

お返事２０００／７／３０
from=武田

（１）
下記の結果にｈ→±０しても、同じ導関数になるので、極限値が
存在することが明らかである。

Ｆ（Ｘ1 ＋Ｘ2 ）＝Ｆ（Ｘ1 ）＋Ｆ（Ｘ2 ）＋２Ｘ1 Ｘ2 －ｂより、
Ｆ（Ｘ＋０）＝Ｆ（Ｘ）＋Ｆ（０）＋２Ｘ・０－ｂ
∴Ｆ（０）＝ｂ……①

　　　　　　　　　Ｆ（０＋ｈ）－Ｆ（０）　　　　Ｆ（ｈ）－ｂ
Ｆ′（０）＝ｌｉｍ───────────＝ｌｉｍ──────
　　　　　　ｈ→０　　　　　ｈ　　　　　　ｈ→０　　　ｈ

　　　　　＝ａ……②

　　　　　　　　　Ｆ（Ｘ＋ｈ）－Ｆ（Ｘ）
Ｆ′（Ｘ）＝ｌｉｍ───────────
　　　　　　ｈ→０　　　　ｈ

　　　　　　　　　Ｆ（Ｘ）＋Ｆ（ｈ）＋２Ｘｈ－ｂ－Ｆ（Ｘ）
　　　　　＝ｌｉｍ────────────────────
　　　　　　ｈ→０　　　　　　　　ｈ

　　　　　　　　　　Ｆ（ｈ）－ｂ
　　　　　＝ｌｉｍ（──────＋２Ｘ）
　　　　　　ｈ→０　　　　ｈ

　　　　　＝ａ＋２Ｘ……（答）

（２）
極値を持つのは、Ｆ′（Ｘ）＝０より、
ａ＋２Ｘ＝０
　　　　ａ
∴Ｘ＝－─　……（答）
　　　　２