質問

質問＜７６＞で同じ質問をされている方がいますが、
そのお返事にあるように確かに球の体積を微分したら球の表面積になりました。
でも、体積と同じように円周2πrをxについて積分してみると
S=2∫2π√(r^2-x^2)dx   (0からrまで)
x=rsinθ とおくとdx=rcosθdθ　となり
S=2∫2πrcosθ rcosθ dθ (0からπ/2まで)
 =4πr^2∫(cosθ)^2dθ
 =2πr^2∫(cos2θ+1)dθ
 =2πr^2[(sin2θ)/2+θ]
 =2πr^2 π/2
 =(πr)^2 となって4πr^2になりません。
なにか根本的間違いがあるのでしょうか？

★希望★完全解答★

お返事２００６／２／１２
from=武田

いま円錐の例で考えてみよう。



体積は円錐の公式より、（１／３）πｒ^3
これを回転体の積分で求めると、π∫(0,r)ｙ^2ｄｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｒ
ｙ＝ｘより、π∫(0,r)ｘ^2ｄｘ＝π［ｘ^3／３］　＝（１／３）πｒ^3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０

ところが、側面積を扇形の展開図から求めると、
　　　　　　　　　２πｒ
π（√２ｒ）^2・―――――――＝√２πｒ^2
　　　　　　　　２π（√２ｒ）

ベーコンさんのやり方で求めると、２π∫(0,r)ｙｄｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｒ
ｙ＝ｘより、２π∫(0,r)ｘｄｘ＝２π［ｘ^2／２］　＝πｒ^2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０
となって、異なる答えが出ます。

これは、円盤を重ねて求めた体積とは違って、円周に微小な線分の長さを
掛けて求めていくという表面積独特のやり方があるのです。
公式はこうなります。
　　　　　ｂ　　　　　　ｄｙ
Ｓ＝２π∫　ｙ√｛１＋（――）^2｝ｄｘ
　　　　　ａ　　　　　　ｄｘ
　　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　　↑
　　　　　　　この部分が微小な線分の長さにあたります。

これを使って、上の円錐の表面積を求めると、
　　　　　ｒ　　　　　　ｄｙ
Ｓ＝２π∫　ｙ√｛１＋（――）^2｝ｄｘ
　　　　　０　　　　　　ｄｘ

ｙ＝ｘより、ｄｙ／ｄｘ＝１

　　　　　ｒ
Ｓ＝２π∫　ｘ√｛１＋（１）^2｝ｄｘ
　　　　　０
　　　　　　　　　　　ｒ
　＝２√２π［ｘ^2／２］　＝√２πｒ^2
　　　　　　　　　　　０

したがって、球の表面積は、
ｙ＝√(r^2-x^2)より、
ｄｙ／ｄｘ＝－２ｘ／２√(r^2-x^2)
　　　　　＝－ｘ／√(r^2-x^2)
√｛１＋（ｄｙ／ｄｘ）^2｝＝√｛ｒ^2／（ｒ^2－ｘ^2）｝
　　　　　　　　　　　　　＝ｒ／√（ｒ^2－ｘ^2）

Ｓ＝2∫2π√(r^2-x^2)・ｒ／√（ｒ^2－ｘ^2）dx   (0からrまで)
　＝４πｒ∫ｄｘ(0からrまで)
　＝４πｒ［ｘ］(0からrまで)
　＝４πｒ^2　……（答）

お便り２００６／２／１２
from=wakky

いささか酔っていますが
興味あるので、私なりにお答えします。
まず円なので、半円上部は
ｙ＝√（ｒ^2－ｘ^2）
だから、2∫2π√(r^2-x^2)dx   は
２∫２πｙｄｘですから
２πｒを積分していません。
それから
円の円周上の点を考えたときに
半円上部の円周上の点の集合を
ｘ軸の周りに一回転させる
これが球の表面積になります
曲線ｙ＝ｆ（ｘ）のｘの微少区間Δｘと、それに対応するｙの微少区間Δｙ
その区間にある曲線の長さは
√｛（Δｘ）^2＋（Δｙ）^2｝と考えてよいので
［√｛１＋（Δｙ／Δｘ）^2｝］Δｘ
これがｘ軸の周りに１回転すると
ｘ≒ｘ＋Δｘであれば
表面積をＳとすると平区間［ａ，ｂ］では
Ｓ＝２π∫（ａ～ｂ）ｆ（ｘ）√｛１＋ｆ’（ｘ）｝ｄｘ
となります。

ベーコンさんが計算したのは
ｙを０からｒまで定積分したものの４π倍なので
半径ｒの円の１／４の面積を４π倍したものです。
すなわち
（１／４）πｒ^2×４π＝（πｒ）^2となります。
表面積とならないことはご理解頂けましたか？