質問<2971>2006/2/20
球x^2+y^2+z^2≦a^2(a>0)と 円柱x^2+y^2=axの内部にある部分の体積Vを 求めよ。 教えて下さい。 ★希望★完全解答★
お便り2006/2/22
from=wakky
xy平面上の領域D(円の周および内部)は D:{x^2+y^2≦ax}です。 また z=√(a^2-x^2-y^2)とし、求める面積をVとすると V=2∫∫D z dxdy (これは図示して確かめて欲しいです) ここで、領域Dを極座標に変換します すなわち x=rcosθ,y=rsinθとすると 領域Dは M:{0≦r≦acosθ,-π/2≦θ≦π/2}に写ります このときヤコビアンはJ=r 以上から体積を計算(省略)すると 体積=(2/9)a^3(3π-4)となります。
お便り2006/2/23
from=angel
z=t (-a≦t≦a) による断面積を S(t) とした時、 図形の xy平面に関する対称性から、 体積 V=∫[-a,a] S(t)dt = 2∫[0,a] S(t)dt z=t ( 0≦t≦a ) による断面は、 (1) x^2+y^2≦a^2-t^2 … 点A(0,0,t)を中心とし、半径√(a^2-t^2)の円 (2) x^2-ax+y^2≦0 … 点B(a/2,0,t)を中心とし、半径 a/2 の円 の共有部分 この2円の円周の共有点C,Dは、 ((a^2-t^2)/a, ±t/a・√(a^2-t^2), t) S(t)は、扇型ACD - △ACD + 扇形BCD - △BCD (もしくは +△BCD) ここで、扇形ACDの中心角を 2θ、扇形BCDの中心角を 4φと置くと、 ( 0≦θ,φ≦π/2 ) √(a^2-t^2)sinθ=t/a・√(a^2-t^2) …(3) a/2 - a/2・cos(2φ) = (a^2-t^2)/a …(4) ※円の中心の x座標から、半径×余弦を引くと、C,Dのx座標 (3)より、 a sinθ = t (4)より cos(2φ) = 1-2(a^2-t^2)/a^2 2(cosφ)^2 - 1 = 1-2(a^2-t^2)/a^2 (cosφ)^2 = 1-(a^2-t^2)/a^2 = t^2/a^2 a cosφ = t 面積を計算すると、 S(t) = (a^2-t^2)(θ-sinθcosθ) + a^2/4・(2φ-(sin2φ)(cos2φ)) = a^2( (θ(cosθ)^2-sinθ(cosθ)^3) + 1/2・(φ-sinφcosφ+2(sinφ)^3cosφ) ) ※ 扇形 - 三角形 = 2×( 1/2×半径×半径×中心角の半分 - 1/2×(半径×中心角の半分の正弦) ×(半径×中心角の半分の余弦) ) = 半径×半径×(中心角の半分 - sin(中心角の半分)cos(中心角の半分)) 以下積分(置換積分) acosθdθ=dt -a・sinφ=dt cos(3θ)=4(cosθ)^3-3cosθ より、 ∫S(t)dt = a^2∫(cosθ)^2(θ-sinθcosθ)dt + a^2/2・∫(φ-sinφcosφ+2(sin^φ)^3cosφdt = a^3( ∫(θ(cosθ)^3-sinθ(cosθ)^4)dθ - 1/2・∫(φsinφ - (sinφ)^2cosφ + 2(sinφ)^4cosφ )dφ ) = a^3( 1/4・∫θcos(3θ)dθ + 3/4・∫θcosθdθ + 1/5・(cosθ)^5 + 1/2・φcosφ - 1/2・∫cosφdφ + 1/6・(sinφ)^3 - 1/5・(sinφ)^5 ) = a^3( 1/12・θsin(3θ) - 1/12・∫sin(3θ)dθ + 3/4・θsinθ - 3/4・∫sinθdθ + 1/5・(cosθ)^5 + 1/2・cosφ・φ - 1/2・sinφ + 1/6・(sinφ)^3 - 1/5・(sinφ)^5 ) = a^3( 1/12・θsin(3θ) + 1/36・cos(3θ) + 3/4・θsinθ + 3/4・cosθ + 1/5・(cosθ)^5 + 1/2・cosφ - 1/2・sinφ + 1/6・(sinφ)^3 - 1/5・(sinφ)^5 ) +C ∫[0,a]S(t)dt = a^3[ 1/12・θsin(3θ) + 1/36・cos(3θ) + 3/4・θsinθ + 3/4・cosθ + 1/5・(cosθ)^5 ][0,π/2] +a^3[ 1/2・cosφ・φ - 1/2・sinφ + 1/6・(sinφ)^3 - 1/5・(sinφ)^5 ][π/2,0] = a^3(-π/24-1/36+3π/8-3/4-1/5)+a^3(1/2-1/6-1/5) = a^3(π/3 - 38/45) V=2∫[0,a]S(t)dt=a^3(2π/3 - 76/45) …(答え)