質問

球ｘ＾２＋y＾２＋ｚ＾２≦ａ＾２（ａ＞０）と
円柱ｘ＾２＋y＾２＝ａｘの内部にある部分の体積Ｖを
求めよ。
教えて下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／２２
from=wakky

ｘｙ平面上の領域Ｄ（円の周および内部）は
Ｄ：｛ｘ^2＋ｙ^2≦ａｘ｝です。
また
ｚ＝√（ａ^2－ｘ^2－ｙ^2）とし、求める面積をＶとすると
Ｖ＝２∫∫D　ｚ　ｄｘｄｙ
（これは図示して確かめて欲しいです）
ここで、領域Ｄを極座標に変換します
すなわち
ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθとすると
領域Ｄは
Ｍ：｛０≦ｒ≦ａｃｏｓθ，－π／２≦θ≦π／２｝に写ります
このときヤコビアンはＪ＝ｒ
以上から体積を計算（省略）すると
体積＝（２／９）ａ^3（３π－４）となります。

お便り２００６／２／２３
from=angel

z=t (-a≦t≦a) による断面積を S(t) とした時、
図形の xy平面に関する対称性から、

　体積 V=∫[-a,a] S(t)dt = 2∫[0,a] S(t)dt

z=t ( 0≦t≦a ) による断面は、

　(1) x^2+y^2≦a^2-t^2　… 点A(0,0,t)を中心とし、半径√(a^2-t^2)の円
　(2) x^2-ax+y^2≦0　… 点B(a/2,0,t)を中心とし、半径 a/2 の円

の共有部分
この2円の円周の共有点C,Dは、 ((a^2-t^2)/a, ±t/a・√(a^2-t^2), t)
S(t)は、扇型ACD - △ACD + 扇形BCD - △BCD　(もしくは +△BCD)
ここで、扇形ACDの中心角を 2θ、扇形BCDの中心角を 4φと置くと、
( 0≦θ,φ≦π/2 )

　√(a^2-t^2)sinθ=t/a・√(a^2-t^2)　…(3)
　a/2 - a/2・cos(2φ) = (a^2-t^2)/a　…(4)
　※円の中心の x座標から、半径×余弦を引くと、C,Dのx座標

(3)より、
　a sinθ = t
(4)より
　cos(2φ) = 1-2(a^2-t^2)/a^2
　2(cosφ)^2 - 1 = 1-2(a^2-t^2)/a^2
　(cosφ)^2 = 1-(a^2-t^2)/a^2 = t^2/a^2
　a cosφ = t

面積を計算すると、
S(t)
= (a^2-t^2)(θ-sinθcosθ) + a^2/4・(2φ-(sin2φ)(cos2φ))
= a^2( (θ(cosθ)^2-sinθ(cosθ)^3) + 1/2・(φ-sinφcosφ+2(sinφ)^3cosφ) )
※ 扇形 - 三角形
　= 2×( 1/2×半径×半径×中心角の半分 - 1/2×(半径×中心角の半分の正弦)
　　　　×(半径×中心角の半分の余弦) )
　= 半径×半径×(中心角の半分 - sin(中心角の半分)cos(中心角の半分))

以下積分(置換積分)

　acosθdθ=dt
　-a・sinφ=dt
　cos(3θ)=4(cosθ)^3-3cosθ

より、

∫S(t)dt
= a^2∫(cosθ)^2(θ-sinθcosθ)dt 
　　　　+ a^2/2・∫(φ-sinφcosφ+2(sin^φ)^3cosφdt
= a^3( ∫(θ(cosθ)^3-sinθ(cosθ)^4)dθ
　　　　- 1/2・∫(φsinφ - (sinφ)^2cosφ + 2(sinφ)^4cosφ )dφ )
= a^3( 1/4・∫θcos(3θ)dθ
　　　　+ 3/4・∫θcosθdθ
　　　　+ 1/5・(cosθ)^5
　　　　+ 1/2・φcosφ - 1/2・∫cosφdφ
　　　　+ 1/6・(sinφ)^3
　　　　- 1/5・(sinφ)^5 )
= a^3( 1/12・θsin(3θ) - 1/12・∫sin(3θ)dθ
　　　　+ 3/4・θsinθ - 3/4・∫sinθdθ
　　　　+ 1/5・(cosθ)^5
　　　　+ 1/2・cosφ・φ - 1/2・sinφ
　　　　+ 1/6・(sinφ)^3
　　　　- 1/5・(sinφ)^5 )
= a^3( 1/12・θsin(3θ) + 1/36・cos(3θ)
　　　　+ 3/4・θsinθ + 3/4・cosθ
　　　　+ 1/5・(cosθ)^5
　　　　+ 1/2・cosφ - 1/2・sinφ
　　　　+ 1/6・(sinφ)^3
　　　　- 1/5・(sinφ)^5 ) +C

∫[0,a]S(t)dt
= a^3[ 1/12・θsin(3θ) + 1/36・cos(3θ) + 3/4・θsinθ 
　+ 3/4・cosθ + 1/5・(cosθ)^5 ][0,π/2]
　+a^3[ 1/2・cosφ・φ - 1/2・sinφ + 1/6・(sinφ)^3 - 1/5・(sinφ)^5 ][π/2,0]
= a^3(-π/24-1/36+3π/8-3/4-1/5)+a^3(1/2-1/6-1/5)
= a^3(π/3 - 38/45)

V=2∫[0,a]S(t)dt=a^3(2π/3 - 76/45) …(答え)