質問＜３０１５＞２００６／３／８
from=ぐふ
「円と接線」

円の接線が接点を通る半径に垂直となるのは、なぜですか？

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／１０
from=wakky

結論から言うと
垂直でなければ、二点で交わってしまいます。
どう説明してよいか・・・なんですが
接点の左右（上下）の微少区間では
接線とその微少区間の円弧は
微分の概念では平行な直線だと考えることもできます。
こんなことを言うと、余計混乱しますかねぇ？
接線は、円周上の一点で接するわけですから
その接点と同じ点を通る直線で
接線と異なる傾きを持つ直線は？？？
もう一点と交わる・・・というのは理解できるでしょうか？

お便り２００６／３／１０
from=angel

背理法で。

円の中心を C、接線を l、接点を P とする。この P は円と l の唯一の
共有点である。C から l に下ろした垂線の足を H とする時、H と P が
一致することを示す。

仮に、H と P が一致しないとする。
その時、l 上に、PH = QH となるよう、H に関して P の反対側に点Qを取る。
∠H垂直、CH共通、PH=QH より、2つの直角三角形に関して △CHP≡△CHQ
これより、CP = CQ のため、Q は円周上、すなわち l と円の共有点であり、
P が唯一の共有点であることに反する。

よって、H と P は一致する。

以上により、CP(=CH) と l は垂直。