質問<3015>2006/3/8
円の接線が接点を通る半径に垂直となるのは、なぜですか? ★希望★完全解答★
お便り2006/3/10
from=wakky
結論から言うと 垂直でなければ、二点で交わってしまいます。 どう説明してよいか・・・なんですが 接点の左右(上下)の微少区間では 接線とその微少区間の円弧は 微分の概念では平行な直線だと考えることもできます。 こんなことを言うと、余計混乱しますかねぇ? 接線は、円周上の一点で接するわけですから その接点と同じ点を通る直線で 接線と異なる傾きを持つ直線は??? もう一点と交わる・・・というのは理解できるでしょうか?
お便り2006/3/10
from=angel
背理法で。 円の中心を C、接線を l、接点を P とする。この P は円と l の唯一の 共有点である。C から l に下ろした垂線の足を H とする時、H と P が 一致することを示す。 仮に、H と P が一致しないとする。 その時、l 上に、PH = QH となるよう、H に関して P の反対側に点Qを取る。 ∠H垂直、CH共通、PH=QH より、2つの直角三角形に関して △CHP≡△CHQ これより、CP = CQ のため、Q は円周上、すなわち l と円の共有点であり、 P が唯一の共有点であることに反する。 よって、H と P は一致する。 以上により、CP(=CH) と l は垂直。