質問＜３０５１＞２００６／３／３１
from=名無し
「多項定理」

多項定理を数学的帰納法の仮定を示しながら説明するには、
どうすればよいのでしょうか。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／１４
from=BossF

多項定理を

「{∑(i=0 to k)Ai}^n を展開した時の
　　Π(i=0 to k)Ai^Bi (但しBiは∑(i=0 to k)Bi=n なる、非負整数)の係数は
　　n!/{π(i=0 to k)Bi!}　　」 …①

として、示してみます。

（いつも文句ばかりですが、なんと言ってもここは数式、(∑やΠやＣや suffix etc)
が書きにくいので、読み難いと思いますが、我慢して読んで見てください）

[証明]
k=0 の時は明らかに成立

k=1 の時は
     (見やすくする為に) B0=r とおけば、B1=n-r だから
　　　　　(A0^B0)(A1^B1)=(A0^r)(B0^(n-r))の係数は
二項定理より
　　 ｎＣｒ=n!/{r!(n-r)!}
        　 =n!/{B0!B1!} 　　よって成立

（ここは単に　[k=1 の時は二項定理より成立] でいいんじゃないかな？）

k≦k の時①が成り立っていると仮定すると

k=k+1 の時
　　{∑(i=0 to k+1)Ai}^n=[{∑(i=0 to k)Ai}+Ak+1]^n を展開した時の
　　Ak+1^Bk+1の項は二項定理より
　
　　ｎＣ(Bｋ+1)[{∑(i=0 to k)Ai}^(n-Bk+1)](Ak+1^Bｋ+1) で

　　{∑(i=0 to k)Ai}^(n-Bk+1)を展開した時の
　　Π(i=0 to k)Ai^Bi (但しBiは∑(i=0 to k)Bi=n-Bk+1 なる、非負整数)
　　の係数は①より
　　(n-Bk+1)!/{Π(i=0 to k)Bi!} だから

　　Π(i=0 to k+1)Ai^Biの係数は

　　ｎＣ(Bｋ+1)ｘ(n-Bk+1)!/{Π(i=0 to k)Bi!}
　　　=[n!/(Bｋ+1！)(n-Bk+1)!][(n-Bk+1)!/{Π(i=0 to k)Bi!}]
      =n!/Π(i=0 to k+1)Bi!   よって①は成立

以上より①は帰納的に示された　　　　■