質問<3051>2006/3/31
多項定理を数学的帰納法の仮定を示しながら説明するには、 どうすればよいのでしょうか。 ★希望★完全解答★
お便り2006/5/14
from=BossF
多項定理を 「{∑(i=0 to k)Ai}^n を展開した時の Π(i=0 to k)Ai^Bi (但しBiは∑(i=0 to k)Bi=n なる、非負整数)の係数は n!/{π(i=0 to k)Bi!} 」 …① として、示してみます。 (いつも文句ばかりですが、なんと言ってもここは数式、(∑やΠやCや suffix etc) が書きにくいので、読み難いと思いますが、我慢して読んで見てください) [証明] k=0 の時は明らかに成立 k=1 の時は (見やすくする為に) B0=r とおけば、B1=n-r だから (A0^B0)(A1^B1)=(A0^r)(B0^(n-r))の係数は 二項定理より nCr=n!/{r!(n-r)!} =n!/{B0!B1!} よって成立 (ここは単に [k=1 の時は二項定理より成立] でいいんじゃないかな?) k≦k の時①が成り立っていると仮定すると k=k+1 の時 {∑(i=0 to k+1)Ai}^n=[{∑(i=0 to k)Ai}+Ak+1]^n を展開した時の Ak+1^Bk+1の項は二項定理より nC(Bk+1)[{∑(i=0 to k)Ai}^(n-Bk+1)](Ak+1^Bk+1) で {∑(i=0 to k)Ai}^(n-Bk+1)を展開した時の Π(i=0 to k)Ai^Bi (但しBiは∑(i=0 to k)Bi=n-Bk+1 なる、非負整数) の係数は①より (n-Bk+1)!/{Π(i=0 to k)Bi!} だから Π(i=0 to k+1)Ai^Biの係数は nC(Bk+1)x(n-Bk+1)!/{Π(i=0 to k)Bi!} =[n!/(Bk+1!)(n-Bk+1)!][(n-Bk+1)!/{Π(i=0 to k)Bi!}] =n!/Π(i=0 to k+1)Bi! よって①は成立 以上より①は帰納的に示された ■