質問＜３０５８＞２００６／４／３
from=透
「積分」

xy平面上の領域0≦x≦1かつx^2≦y≦xを直線ｙ＝ｘのまわりに回転して
得られる立体の体積Ｖを求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／７
from=ZELDA

x=xのときの領域のy方向の長さは、x-x^2である。これを、
y=xのまわりに回転してえられる傘型を考える。
傘型を円錐の側面とみなしたとき、円錐の底面の半径は
(x-x^2)/√2である。
したがって、傘型の面積は
π(x-x^2)^2/√2
これに厚みdxをかけて
V=∫[0,1]π(x-x^2)^2/√2dx
=(π√2)/60

お便り２００６／４／１６
from=UnderBird

ZELDAさん
傘型の説明ですが、したがって傘型の面積は・・・
の次の式がもう少し説明がほしいです。
ｙ＝ｘを－４５°回転して考えると、
途中計算はコンピュータにさせたのですが、
ZELDAさんの値と異なる点と、傘型の説明に疑問が残るので、
もう少し詳しい説明をしてほしいです。

お便り２００６／４／１６
from=ZELDA

ニューアクションωにこれとまったく同じ問題があるのですが、その答えと一致して
いるので、答えはあっていると思います。
そこに出ているのは、私と違うやり方でした。

直線y=xと直線x=tの交点をAとする。
直線x=tと曲線y=x^2の交点をBとする。
Bからy=xに下ろした垂線の足をHとする。

このとき、線分ABをy=xの周りに回転させると、傘型ができる。この傘型は、
⊿ABHを直線y=xの周りに回転させたときにできる円錐の側面とみなせる。
⊿ABHは直角二等辺三角形であるから
BH=AB/√2・・・・・・・・・・・・・・・(1)
（円錐の側面積）=（底面の円の半径）*（母線の長さ）*π
の公式と(1)を用いると、
(傘型の面積）=（円錐の側面積）=BH*AB*π
=πAB^2/√2
となります。あとは、以前に書いた式を代入していただければよろしいかと思います。

お便り２００６／４／１８
from=UnderBird

ZELDAさん早速の返答ありがとうございました。
放物線上の点P(x,x^2)から、y=xへ垂線をおろせばすっきりした積分関数が
出るのですね。わたしは、y=xから放物線におろして考えておかしくなりました。
ただ、まだ傘型の面積の考えが今ひとつ腑に落ちないのは、
積分が薄い円盤の積み重ねたものとして考えているのに対して、
ZELDAさんの式は傘型の積み重ねで考えていらっしゃると思います。
（違ってたらごめんなさい）
普通にｘ軸の周りに回転させて求める問題も傘型の積み重ねで大丈夫なのか
もう少し、調べてみたいと思います。ありがとうございました。