質問＜３０５９＞２００６／４／３
from=美咲
「行列ベクトル」

R^2上の線形変換fによって
f(1)=(2), f( 1)=( 0)
 (1) (0)   (-1) (-2)
とするとき、次の問に答えよ。

①基本ベクトルe1,e2に対してf(e1),f(e2)を求めよ。

②基底{e1,e2}に関してfに対応する行列Aを求めよ。

③任意のベクトル(x)のfによる像はどのようなベクトルか
                (y)

④a1=(1),a2=( 1)をR^2の基底として選ぶときfに対応する行列Bを求めよ。
     (1)    (-1)

どのようにして求めるのかが分かりません。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／７
from=BossF

①
f(1)=(2), f( 1)=( 0)
 (1) (0)   (-1) (-2)　だから

f(1  1)=(2  0)
 (1 -1) (0 -2)

よって
　　　f=(2  0)(1  1)^(-1)=(-1/2)(2  0)(-1 -1)
        (0 -2)(1 -1)            (0 -2)(-1  1)

       =( 1 1)
        (-1 1)

∴f(e1)=( 1),f(e2)=(1)
        (-1)       (1)   …答

[別解(こちらが出題者の意図でしょう)]

f(1)=f(e1+e2)=f(e1)+f(e2)=(2), 
 (1)                      (0)   
f( 1)=f(e1-e2)=f(e1)-f(e2)=( 0) 
 (-1)                      (-2)

ここから、f(e1),f(e2)を求めます

②　①より　A=( 1 1)
              ( 1 1)     …答


③　f(x)=( 1 1)(x)=( x+y)
     (y) (-1 1)(y) (-x+y)  …答


④　すみません、私は高校までしか習ってないので、基底変換した時に
対応する行列の意味が分かっていません(^^;;
　ですから、ここからは推測です

g(e1)=a1,g(e2)=a2 なるgを考えると

g(e1 e2)=gE=(a1 a2) だから　

　g=(a1 a2)     

よって　B=g(f)=(1  1)( 1 1)=(0 2)  …答
               (1 -1)(-1 1) (2 0)

お便り２００７／４／８
from=玉川

お便り２００７／４／１４
from=UnderBird