質問＜３０７＞２０００／８／２５
from=joe
「証明問題」

a＜ｂ＜ｃ、a+b+c=0のとき、次の方程式が成り立つことを
証明せよ。
１　　a^2+b^2+c^2　　２
―≦───────＜──  
２　　(c-a)^2　　　　３

お返事２０００／８／２９
from=武田

再考して何とか出来た。

１　　ａ2 ＋ｂ2 ＋ｃ2 　２
―≦─────────＜─  
２　　　（ｃ－ａ）2 　　３

中辺をＡとおく。１／２≦Ａ＜２／３となることを導く。
ａ2 ＋ｂ2 ＋ｃ2 
───────── ＝Ａより、
　（ｃ－ａ）2 

ａ2 ＋ｂ2 ＋ｃ2 ＝Ａ（ｃ－ａ）2 
ａ＋ｂ＋ｃ＝０より、ｂ＝－ａ－ｃを代入して、
（２－Ａ）ａ2 ＋２（Ａ＋１）ａｃ＋（２－Ａ）ｃ2 ＝０……①
実数解ａを持つためには、方程式①の判別式Ｄ≧０より、
Ｄ／４＝（Ａ＋１）2 ｃ2 －（２－Ａ）（２－Ａ）ｃ2 
　　　＝ｃ2 （Ａ2 ＋２Ａ＋１－４＋４Ａ－Ａ2 ）
　　　＝ｃ2 （６Ａ－３）≧０
ｃ2 ≧０より、６Ａ－３≧０
したがって、
　　　１
Ａ≧───……（ア）
　　　２

ａ＜ｂ＜ｃ、ａ＋ｂ＋ｃ＝０より、
ａ＜ｂ
ａ＜－ａ－ｃ
２ａ＜－ｃ
ａ＜－ｃ／２……②
方程式①の解の大きい方ａ２が②より左側になくてはならないので、
－（Ａ＋１）ｃ＋√｛ｃ2 （６Ａ－３）｝　　　ｃ
───────────────────＜－───
　　　　　　２－Ａ　　　　　　　　　　　　　２

－（Ａ＋１）ｃ＋ｃ√（６Ａ－３）　　　ｃ────────────────＜－───
　　　　　　２－Ａ　　　　　　　　　　２
分母２－Ａ＞０のとき、Ａ＜２……③
－２Ａ－２＋２√（６Ａ－３）＜－（２－Ａ）
２√（６Ａ－３）＜－２＋Ａ＋２Ａ＋２
２√（６Ａ－３）＜３Ａ
両辺を２乗して、
４（６Ａ－３）＜９Ａ2 
９Ａ2 －２４Ａ＋１２＞０
因数分解して、（３Ａ－６）（３Ａ－２）＞０
　　　２
Ａ＜───，２＜Ａ……④
　　　３
　　　　　　　　　２
③と④より、Ａ＜───……（イ）
　　　　　　　　　３
（ア）（イ）より、
１　　　２
─≦Ａ＜─……（答）
２　　　３

（追伸）
なお、分母２－Ａ＜０のときは、Ａ＞２
計算した結果は、
２
─＜Ａ＜２より、
３
共通部分はない。