質問<3081>2006/4/12
nが(2^k)+1の形の素数である場合に、1のn乗根が求まるらしいのですが、 どうしてそのような場合に、求めることができるのでしょうか。 例えば、1の3乗根はcos(2π/3)=-1/2 を求めることができるので、定まる。・・・(1) 1の5乗根はcos(2π/5)=(-1+√5)/4 を求めることができるので、定まる。・・・(2) 1の17乗根は cos(2π/17)=(1/8)√[17+3√17-√(34-2√17)-2√(34+2√17)] -(1/16)+[(√7)/16]+[√(34-2√17)]/16 を求めることができるので、定まる。・・・(3) (1)は、簡単にこの値がわかる。 (2)は、角度の大きさが72°,72°,36°の二等辺三角形の辺の長さの比が 黄金比になることから、求められます。 (3)は、高校の授業でこの値を見ただけで、どのようにこの値が得られる のかわかりません。 長くなってしまって、申し訳ありません。 完全解答でなくてもかまいせん、途中まで、 あるいは、アイディアだけでも結構です。 どうかよろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/4/16
from=BossF
nが(2^k)+1の形の素数→フェルマ数(n={2^(2^k)}+1) の誤りでしょう ガロア理論からでてくるようです(私は苦手) 詳しくは http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/index.shtml のなかの http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/drawing/heptadecagon.html を参照してください なお、とても面白いHPですよ、ここ