質問<3080>2006/4/12
放物線y^2=4xの直交する二接線の交点の軌跡を教えてください m(_ _)m ★希望★完全解答★
お便り2006/4/14
from=wakky
<質問2654>を見てください。
お便り2006/4/15
from=S(社会人)
こんにちは。 ( 答案 ) y^2=4x … [1] 上の 2 点 P(a,b),Q(c,d) における接線が 点R(X、Y) で直交するものとする。 [1] から 2yy’=4 で、いま (2/b)(2/d)=-1 であるから、 bd=-4 一方、 b^2=4a、d^2=4c などより ac=1 で a=(1/4)b^2、d=-4/b、c=4/b^2 などである。 … [2] 2 点 P,Q における接線の方程式を点 R が満たすから、 Y-b=(2/b)(X-a) … [3] Y-d=(2/d)(X-c) … [4] ここで、 [3]-[4] を整理して、 [2] を代入すると X=-1 を得る。 すなわち、点 R は直線 x=-1 上にあることが必要である。 また、 x=-1 上の任意の点 (-1,t) を通る直線が放物線上の 点(y,(1/4)y^2) で当該放物線に接するとすると、 x=-1 は接線ではないから直線の方程式は y-t=m{(1/4)y^2+1} ( -∞<m<∞ ) と書くことができて、 my^2-4y+4(m+t)=0 これは y について重解を持つから、 D/4=(-2)^2-m4(t+m)=0 m^2+tm-1=0 いま、接線は 2 つあり、これらの接線の傾き m1,m2 は、この m についての 2 次方程式の 2 つの解であるから、解と係数の関係から m1*m2=-1 これは、 2 つの接線が直交することを意味する。 したがって、題意は直線 x=-1 が必要十分である。 … ( 答 )