質問＜３０８０＞２００６／４／１２
from=jyjyjyjyjy0703
「幾何学」

放物線y^2=4xの直交する二接線の交点の軌跡を教えてください
ｍ(＿　＿)ｍ

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／１４
from=wakky

＜質問２６５４＞を見てください。

お便り２００６／４／１５
from=S（社会人）

こんにちは。

（ 答案 ）
ｙ＾２＝４ｘ　…　［１］　上の　２　点　Ｐ（ａ，ｂ），Ｑ（ｃ，ｄ）　
における接線が　点Ｒ（Ｘ、Ｙ）　で直交するものとする。

［１］　から　２ｙｙ’＝４　で、いま　（２／ｂ）（２／ｄ）＝－１　であるから、
　ｂｄ＝－４
一方、　ｂ＾２＝４ａ、ｄ＾２＝４ｃ　などより　ａｃ＝１　で
ａ＝(１／４)ｂ＾２、ｄ＝－４／ｂ、ｃ＝４／ｂ＾２　などである。　…　［２］

２　点　Ｐ，Ｑ　における接線の方程式を点　Ｒ　が満たすから、
Ｙ－ｂ＝（２／ｂ）（Ｘ－ａ）　…　［３］
Ｙ－ｄ＝（２／ｄ）（Ｘ－ｃ）　…　［４］
ここで、　［３］－［４］　を整理して、　［２］　を代入すると　Ｘ＝－１　を得る。
すなわち、点　Ｒ　は直線　ｘ＝－１　上にあることが必要である。

また、　ｘ＝－１　上の任意の点　（－１，ｔ）　を通る直線が放物線上の　
点（ｙ，（１／４）ｙ＾２）　で当該放物線に接するとすると、　ｘ＝－１　
は接線ではないから直線の方程式は
ｙ－ｔ＝ｍ{（１／４）ｙ＾２＋１}　（ －∞＜ｍ＜∞ ）　と書くことができて、
ｍｙ＾２－４ｙ＋４（ｍ＋ｔ）＝０
これは　ｙ　について重解を持つから、　
Ｄ／４＝(－２）＾２－ｍ４（ｔ＋ｍ）＝０
ｍ＾２＋ｔｍ－１＝０
いま、接線は　２　つあり、これらの接線の傾き　ｍ１，ｍ２　は、この　ｍ　
についての　２　次方程式の　２　つの解であるから、解と係数の関係から
ｍ１*ｍ２＝－１
これは、　２　つの接線が直交することを意味する。

したがって、題意は直線　ｘ＝－１　が必要十分である。　…　（ 答 ）