質問<3114>2006/4/22
無限等比級数の解説で、「無限等比級数では、|r|<1のとき、収束してa/(1-r)に なって、|r|≧1のとき、発散となる」というのがあるのですけど、|r|≧1のとき、 発散というのが納得いきません。r≧1のときはrのn乗は+∞に発散するので、無限等 比級数の和が発散するのは分かります。しかし、r≦-1のときは、rのn乗は振動する ので、無限等比級数の和も振動するのではないですか?r≧1の発散し、r≦-1のとき 振動するなら納得いきますが、|r|≧1のとき発散となるのが納得いきません。振動す るけど、+∞または-∞になるということで発散するという解説になっているのでしょ うか?詳しい説明お願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/4/23
from=ZELDA
等比数列の初項をa(aは0以外の数)とする。 公比をr(r≦-1)とする。 このとき、 ∑[1,∞]ar^(n-1)=lim[n→∞]∑[1,n]ar^(k-1) =lim[n→∞]a(1-r^n)/(1-r) この値は、nの偶奇によって明らかに符合が異なる。 したがって、g.m.pさんの仰るとおり、振動することがわかります。 発散と言う言葉には、厳密に使用するものと、 いいかげんに使用するものと二種類あります。 この問題でいう発散というのは、正の無限大に発散すると言う意味ではなく、 ただ単に、収束しないという意味で使われているものと思われます。 振動するから発散する(収束しない)ということでしょう。
お便り2006/4/24
from=wakky
確かにおっしゃるとおりだと思います。 |r|<1なら収束 r≧1なら発散 r≦-1なら振動 と書いてある本もあります。 「収束する」と「収束しない」 の「収束しない」の方を単にまとめて「発散」と 表現しているのではないかと思います。