質問＜３１１４＞２００６／４／２２
from=ｇ．ｍ．ｐ
「無限等比級数」

無限等比級数の解説で、「無限等比級数では、｜r｜＜１のとき、収束してa／(１－r)に
なって、｜r｜≧１のとき、発散となる」というのがあるのですけど、｜r｜≧１のとき、
発散というのが納得いきません。ｒ≧１のときはｒのｎ乗は+∞に発散するので、無限等
比級数の和が発散するのは分かります。しかし、r≦－１のときは、ｒのｎ乗は振動する
ので、無限等比級数の和も振動するのではないですか？ｒ≧１の発散し、r≦－１のとき
振動するなら納得いきますが、｜r｜≧１のとき発散となるのが納得いきません。振動す
るけど、＋∞または－∞になるということで発散するという解説になっているのでしょ
うか？詳しい説明お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２３
from=ZELDA

等比数列の初項をa(aは0以外の数）とする。
公比をr(r≦-1)とする。

このとき、
∑[1,∞]ar^(n-1)=lim[n→∞]∑[1,n]ar^(k-1)
=lim[n→∞]a(1-r^n)/(1-r)

この値は、nの偶奇によって明らかに符合が異なる。
したがって、g.m.pさんの仰るとおり、振動することがわかります。
発散と言う言葉には、厳密に使用するものと、
いいかげんに使用するものと二種類あります。
この問題でいう発散というのは、正の無限大に発散すると言う意味ではなく、
ただ単に、収束しないという意味で使われているものと思われます。
振動するから発散する（収束しない）ということでしょう。

お便り２００６／４／２４
from=wakky

確かにおっしゃるとおりだと思います。

｜ｒ｜＜１なら収束
ｒ≧１なら発散
ｒ≦－１なら振動

と書いてある本もあります。

「収束する」と「収束しない」
の「収束しない」の方を単にまとめて「発散」と
表現しているのではないかと思います。