質問

数直線上で、点Pが初め原点にあり、さいころを投げて4以下の目が出ると+2、
5以上の目が出ると-1だけ動く。さいころを4回投げたときの点Pの座標をXと
した時、Xの確率分布表、X＜０である確率、Xの期待値E（X）を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／８
from=亀田馬志

＞数直線上で、点Pが初め原点にあり、さいころを投げて4以下の目が出ると+2、
5以上の目が出ると-1だけ動く。さいころを4回投げたときの点Pの座標をXとした時、

まずこう言った場合はXがとり得る値を数え上げる事が必要です。
サイコロを振った結果がいずれにせよ、4回しかないので次のXのパターンしか存在しません。

①サイコロが4回とも4以下の目が出るパターン⇒原点から4回＋2づつ進む⇒x＝8
②サイコロが3回4以下の目が出るパターン⇒原点から3回＋2づつ進んで1回－1進む⇒2×3－1×1⇒x＝5
③サイコロが2回4以下の目が出るパターン⇒原点から2回＋2づつ進んで2回－1進む⇒2×2－1×2⇒x＝2
④サイコロが1回4以下の目が出るパターン⇒原点から1回＋2づつ進んで3回－1進む⇒2×1－1×3⇒x＝－1
⑤サイコロが4回とも5以上の目が出るパターン⇒原点から4回－1づつ進む⇒x＝－4

つまりXの実現値は(－4,－1,2,5,8)の5つしかないのです。
まずは問題と解く姿勢として｢これくらいは｣分かってないといけません。話はそれからです。
要するに、この5つの実現値xにそれぞれ適した確率を振り分ければ作業は終了なんです。

さて、単純に考えるとサイコロで4以下が出る確率は4/6、5以上が出る確率は2/6ですよね。
そこで････例えばですよ、上で言うと②のパターンを考えてみます。最終的に実現値xが5
になる場合を考えてみましょう。
｢サイコロを4回振る｣と言った題意から、最後にx＝5になるパターンは次の場合が考えられます。

1回目　2回目　3回目　4回目
4以下　4以下　4以下　5以上
4以下　4以下　5以上　4以下
4以下　5以上　4以下　4以下
5以上　4以下　4以下　4以下

この4つのケースに於いて、最終的にx＝5になるのはお分かりでしょうか?
ところで、この4つのケースはそれぞれ、順番を問わなければ、｢サイコロが3回4以下で、
1回は5以上｣と言うのは共通しています。そうすると、このパターンの確率は単純に考え
る(サイコロは独立試行)と次が確率になるんですね。

サイコロが3回4以下で、1回は5以上になる確率＝サイコロが4以下になる確率×サイコロが
4以下になる確率×サイコロが4以下になる確率×サイコロが5以上になる確率

もうちょっと数学的に書くと次のようになります。

サイコロが3回4以下で、1回は5以上になる確率＝(4/6)^3×(2/6)≒ 9.876543％

つまり、この確率を持つパターンが4種類あるワケですから、

4×9.876543％≒39.50617％

ってのが求めるべき確率、って事になります。考え方は宜しいでしょうか?
まあ、こんな様に、単純に｢全てのあり得るパターンに付いて｣調べ上げて行けばイイのです。
簡単でしょ?テストじゃなければね(笑)。
テストでこんな事やってるとかったるいし、先生も絶対採点中に泣きますね(笑)。
あまりにも｢美しくない｣と感じるでしょうから(笑)。
そこで、上記の考え方は｢基本的な考え方｣として当然押えておくべきなんですが、
ショートカットを導入します。ゲームで言うと｢裏ワザ｣ですね。
上の考え方で言うとポイントは

　　　　　　　　｢順番を問わなければ｣

って部分です。つまり、考え方としては、

同時に4つのサイコロを振った場合、4以下の数が出る確率は何なのか?

と同じ事なんです。これが｢確率｣を考える場合の最大のポイントなんですね。
これを表すのが｢二項分布｣なんです。４つのサイコロのウチ、4以下のサイコロの数rが得
られる確率は

f(r)＝combin(4,r)*(4/6)^r*(2/6)^(4－r)

で表されます。ここでcombin(4,r)は4つの内r個｢4以下のサイコロ｣である｢組み合わせ｣です。
まあ、二項分布に付いては教科書で詳しく説明されているでしょうから、少々端折りますが、
つまり、最初の①～⑤のパターンに於いても同様の議論でそれぞれの｢二項分布による確率｣
を計算すれば良い。その方が計算も早く終わり、先生も喜んでくれるでしょう(笑)。別に特
に喜ばす必要性もないとは思いますが(笑)。

＞Xの確率分布表

以上の議論で実際それぞれ二項分布を計算すれば次のような結果になります。

　X|p(X)
－4|1.234568％
－1|9.876543％
　2|29.62963％
　5|39.50617％
　8|19.75309％

全部の確率を足すと確かに100％になる事を確認してください。

＞X＜０である確率

上の確率分布表から

1.234568％＋9.876543％＝11.11111％

である事が分かります。

＞Xの期待値E（X）を求めよ。

期待値E(X)＝の定義

E(X)＝x_1*p_1＋x_2*p_2＋x_3*p_3＋x_4*p_4＋x_5*p_5

(加重平均と言います)に従って計算すればイイだけなので、僕が計算ミスしてなければ

E(X)＝4

となります。

お便り２００６／５／８
from=wakky

4以下の目が出る事象をA(+2動く)
5以上の目が出る事象をB(-1動く)とします。
１回の試行では
P(A)＝2/3，P(B)＝1/3
-4≦x≦8となるのはすぐにわかりますが
この範囲の整数値をすべて取りうるとは限りません。
まず、xの取りうる値（座標）を調べます

Aの回数　　0　　1　　2　　3　　4
Bの回数　　4　　3　　2　　1　　0
xの座標　－4　－1　　2　　5　　8

あとはそれぞれの場合の確率を求めるだけです。
P(x=-4)＝（1/3）^4＝1/81
P(x=-1)＝4C1（2/3)(1/3)^3＝8/81
以下同様に
P(x=2)＝8/27
P(x=5)＝32/81
P(x=8)＝16/81

確率分布表は

　x    -4    -1     2      5      8    計
 P(x)  1/81  8/81  8/27  32/81  16/81   1

x<0である確率は　(1/81)＋(8/81)＝1/9
xの期待値は
(-4)･(1/81)+(-1)･(8/81)＋2･(8/27)＋5･(32/81)＋8･(16/81)
＝327/81＝4