質問<3164>2006/5/13
∫〔0,1〕1/(x^3+1)dxの計算過程を教えて下さい。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/5/14
from=ZELDA
部分分数展開をすると 3/[(x^3)+1] =1/(x+1)-(1/2)*[(2x-1)/{(x^2)-x+1}] +(3/2)*[1/{(x^2)-x+1}] となる。 ゆえに 3∫[0,1] 1/{(x^3)+1}dx =∫[0,1] 1/(x+1)dx- (1/2)∫[0,1] (2x-1)/[(x^2)-x+1]dx +(2/3)∫[0,1] 1/{(x^2)-x+1}dx である。 とても読みにくくなってしましました。・・・・ごめんなさい。 ∫[0,1] 1/(1+x)dx=[log(x+1)][0,1]=log2 ∫[0,1] (2x-1)/{(x^2)-x+1} =[log|(x^2)-x+1|][0,1]=0 ・・(この式では絶対値でなくともよいです。なぜなら、(x^2)-x+1≧0であるから。) ∫[0,1] 1/{(x^2)-x+1}dx x-(1/2)={(√3)/2}tanyと変数変換する。 (この程度で、変数変換というのは、大げさすぎるか?) ∫[y=-pi/6,y=pi/6] {(√3)/2}×[1/{(3/4)(1+(tany)^2)}]×{1/(cosy)^2}dy =∫[-pi/6,pi/6] dy=(2pi√3)/9 これらの計算結果を用いると ∫[0,1] 1/{(x^3)+1}dx={(log2)/3}+{(pi√3)/9} である。 ここからは、余計な話ですが、次の不定積分の公式を用いるととても楽です。 ∫{(x^3)+(a^3)}^(-1)dx =[1/{(√3)a^2}]arctan[{2x-a}/{(√3)a}] +{1/(3a^2)}log(x+a)-{1/(6a^2)}log{(x^2)-ax+(a^2)} +C (ただし、Cは積分定数)