質問＜３２２４＞2006/6/4
from=min
「空間ベクトル」

 はじめまして。教えていただきたい問題があります。

xは正の定数。空間に|→a|=1,|→b|=1,|→c|=xであるような、
互いに並行でない→a,→b,→cがある。
任意の空間ベクトル→pに対して

V=(→a・→p)^2+(→b・→p)~2+(→c・→p)~2-|→p|^2

のとき問に答えよ。

①→pが→b、→cのいづれにも垂直な単位ベクトルの時、V≦0を示せ。

②→pが→aと平行な単位ベクトルの時、V≧0を示せ。

③任意の空間ベクトル→pに対してVが定数になるとき
→a,→b,→cが互いに垂直、かつ、x=1
である事を示せ。
★完全解答希望★

お便り２００６／７／２
from=wakky

ベクトルをあらわす矢印は省略します。
①②だけ解答します。
③はよくわかりません。

①
｜ｐ｜＝｜ａ｜＝１，ｂ・ｐ＝ｃ・ｐ＝０だから
ａとｐのなす角をθとすると
Ｖ＝ｃｏｓ＾２θ－１≦０（∵｜ｃｏｓθ｜≦１）
②
｜ｐ｜＝｜ａ｜＝１で
ａとｐは平行だからａ＝±ｐ
（ｂ・ｐ）＾２≧０，（ｃ・ｐ）＾２≧０
（ａ・ｐ）＾２－｜ｐ｜＾２＝０
∴Ｖ≧０

お便り２００８／１／１４
from=平　昭

　こんばんは。①と②は回答があるので、③だけ書きます。
こういう問題を解くときに、知っていると便利な手法として
★「必要条件で攻める」★
というやり方があります。具体的に適用してみましょう。
なお、面倒なので→記号は適宜省略します。

ａ，ｂ，ｃ，ｐ，ｑはベクトルだと思って読んで下さい。

Ｖ＝（ａ・ｐ）＾２＋（ｂ・ｐ）＾２＋（ｃ・ｐ）＾２－｜ｐ｜＾２
　＝Ｖ（ｐ）とおく。
Ｖ（ｐ）は定数だから、任意のｐに対して

Ｖ（ｐ）＝Ｖ（→０）＝０である。

また、ｃ＝→０とすると、
ａ、ｂの両方に垂直で０でないベクトルｑ
に対し
Ｖ（ｑ）＝－｜ｑ｜＾２で０とならない。
だからｃは→０でない。つまりｘ＞１


ここで、
Ｖ（ａ）＝０＝（ｂ・ａ）＾２＋（ｃ・ａ）＾２を考えると

（ｂ・ａ）＾２＝（ｃ・ａ）＾２＝０で、ｂもｃも→０ではないから
ａはｂにもｃにも垂直。、、、、、　　　　　（１）

同様に、Ｖ（ｂ）＝０よりｂとｃも垂直。、、、（２）

すると、（ａ・ｃ）＝（ｂ・ｃ）＝０だから

Ｖ（ｃ）＝（ｃ・ｃ）＾２－｜ｃ｜＾２＝ｘ＾４－ｘ＾２＝０
ここでｘ＞０を考えれば、
　ｘ＝１、、、、、、、、、、、、、、、、、（３）

（１）、（２）、（３）を合わせれば題意が示された。

　結論は結局、空間ベクトルに対し、
互いに直交する３本の単位ベクトルの方向成分をとって、
大きさを２乗して足し合わせると、
元のベクトルの大きさの２乗になる、ということ。
３平方の定理を書き換えただけですね。