質問<3224>2006/6/4
はじめまして。教えていただきたい問題があります。 xは正の定数。空間に|→a|=1,|→b|=1,|→c|=xであるような、 互いに並行でない→a,→b,→cがある。 任意の空間ベクトル→pに対して V=(→a・→p)^2+(→b・→p)~2+(→c・→p)~2-|→p|^2 のとき問に答えよ。 ①→pが→b、→cのいづれにも垂直な単位ベクトルの時、V≦0を示せ。 ②→pが→aと平行な単位ベクトルの時、V≧0を示せ。 ③任意の空間ベクトル→pに対してVが定数になるとき →a,→b,→cが互いに垂直、かつ、x=1 である事を示せ。 ★完全解答希望★
お便り2006/7/2
from=wakky
ベクトルをあらわす矢印は省略します。 ①②だけ解答します。 ③はよくわかりません。 ① |p|=|a|=1,b・p=c・p=0だから aとpのなす角をθとすると V=cos^2θ-1≦0(∵|cosθ|≦1) ② |p|=|a|=1で aとpは平行だからa=±p (b・p)^2≧0,(c・p)^2≧0 (a・p)^2-|p|^2=0 ∴V≧0
お便り2008/1/14
from=平 昭
こんばんは。①と②は回答があるので、③だけ書きます。 こういう問題を解くときに、知っていると便利な手法として ★「必要条件で攻める」★ というやり方があります。具体的に適用してみましょう。 なお、面倒なので→記号は適宜省略します。 a,b,c,p,qはベクトルだと思って読んで下さい。 V=(a・p)^2+(b・p)^2+(c・p)^2-|p|^2 =V(p)とおく。 V(p)は定数だから、任意のpに対して V(p)=V(→0)=0である。 また、c=→0とすると、 a、bの両方に垂直で0でないベクトルq に対し V(q)=-|q|^2で0とならない。 だからcは→0でない。つまりx>1 ここで、 V(a)=0=(b・a)^2+(c・a)^2を考えると (b・a)^2=(c・a)^2=0で、bもcも→0ではないから aはbにもcにも垂直。、、、、、 (1) 同様に、V(b)=0よりbとcも垂直。、、、(2) すると、(a・c)=(b・c)=0だから V(c)=(c・c)^2-|c|^2=x^4-x^2=0 ここでx>0を考えれば、 x=1、、、、、、、、、、、、、、、、、(3) (1)、(2)、(3)を合わせれば題意が示された。 結論は結局、空間ベクトルに対し、 互いに直交する3本の単位ベクトルの方向成分をとって、 大きさを2乗して足し合わせると、 元のベクトルの大きさの2乗になる、ということ。 3平方の定理を書き換えただけですね。