質問＜３２２５＞2006/6/4
from=飛鳥涼
「ベクトル」

たびたびお世話になります。
＜２００７＞の質問からの流れで、
貴雄さんが質問された内容と似たような質問ですが、

ａとｂが平行でない場合、{ａ（ａ1，ａ２），ｂ（ｂ1，ｂ２）と数ベクトルで表されている。}
a1b2－a2b1≠0を導く証明で、

証明
ｂ≠ｋａ⇔(ｂ1，ｂ2)≠ｋ（ａ1，ａ２）
ｂ1≠ｋａ1…①　ｂ２≠ｋａ２…②
①×ａ２　②×ａ１　から　
ａ２ｂ1≠kａ1ａ２…③　ａ1ｂ２≠ｋａ１ａ２…④
③と④の右辺が一致することより、ａ1ｂ2≠ａ2b1　
よってａ1ｂ2－ａ2ｂ1≠0
　　　　　　　　　　　　　　　　証明おわり

としたのですが、きちんと証明されていないと指摘されました。

どの部分があいまいで、どのように証明すればよいのか、ぜひ教えてください。
★完全解答希望★

お便り２００６／６／１０
from=ZELDA

ｂ≠ｋａ⇔(ｂ1，ｂ2)≠ｋ（ａ1，ａ２）
ｂ1≠ｋａ1…①　ｂ２≠ｋａ２…②
①×ａ２　②×ａ１　から　
ａ２ｂ1≠kａ1ａ２…③　ａ1ｂ２≠ｋａ１ａ２…④
③と④の右辺が一致することより、ａ1ｂ2≠ａ2b1　
よってａ1ｂ2－ａ2ｂ1≠0
　　　　　　　　　　　　　　　　証明おわり
この証明が間違っている理由は
証明の１行目から、２行目に行くときに
b1≠ka1 ∧　b2≠ka2 としていることです。
正しくは、
b1≠ka1 ∨　b2≠ka2です。

飛鳥涼さんの方針で証明しようと思います。
それと、a≠0 ∧　b≠0　と言う条件が足りないと思うのですが。
勝手につけたさせていただきます。あるいは、２つのベクトルが平行でないという
条件がそれを意味しているのかもしれませんが。

(証明）
　 b≠ka ∧ k≠0
⇔「b1≠ka1 ∨　b2≠ka2」∧ k≠0
⇔『「b1≠ka1 ∧ b2≠ka2」ではない』 ∧ k≠0
⇔「ka1b2=ka2b1ではない」 ∧ k≠0
⇔a1b2-a2b1=0ではない
⇔a1b2-a2b1≠0