質問

∫(x^n*e^x)dx
=(-1)^2n*x^n*e^x+(-1)^(2n-1)*n*x^(n-1)*e^x+(-1)^(2n-2)*n*(n-1)*x^(n-2)*e^x
　　　　…(-1)^(n+1)*n!*x*e^x+(-1)^n*n!*e^x+C
{eは自然対数の底、Cは積分定数｝
という式を部分積分の勉強中に発見したのですが、
これを証明する手段が思いつきません。
数学的帰納法ではうまくいかず、漸化式でも微妙です。

★完全解答希望★

お便り２００６／８／２７
from=KINO

数学的帰納法で証明できます。

I(n)=∫(x^n*e^x)dx とおきます。
I(n)={(-1)^(2n)}*x^n*e^x+{(-1)^(2n-1)}*n*{x^(n-1)}*e^x
　　　+{(-1)^(2n-2)}*n*(n-1)*{x^(n-2)}*e^x+...+{(-1)^(n+1)}*n!*x*e^x
　　　+{(-1)^n}*n!*e^x+C
（これを (1) とおきます）が任意の非負の整数 n に対して成り立つことを示すのが
目標です。

I(0)=∫e^x dx=e^x+C で，e^x={(-1)^0}*x^0*e^x なので n=0 のとき (1) が成り立ちます。

ある非負の整数 k について
I(k)={(-1)^(2k)}*{x^k}*e^x+{(-1)^(2k-1)}*k*{x^(k-1)}*e^x
　　　+{(-1)^(2k-2)}*k*(k-1)*{x^(k-2)}*e^x+...+{(-1)^(k+1)}*k!*x*e^x
　　　+{(-1)^k}*k!*e^x+C
が成り立ったと仮定します。
部分積分により，
I(k+1)={x^(k+1)}*e^x-(k+1)I(k)
が成り立ちます。ここで I(k) に関する仮定を用いると，
I(k+1)={x^(k+1)}*e^x-{(-1)^(2k)}*(k+1)*{x^k}*e^x
　　　　-{(-1)^(2k-1)}*(k+1)*k*{x^(k-1)}*e^x
　　　　-{(-1)^(2k-2)}*(k+1)*k*(k-1)*{x^(k-2)}*e^x-...
　　　　-{(-1)^(k+1)}*(k+1)*k!*x*e^x-{(-1)^k}*(k+1)*k!*e^x-(k+1)C
　　　={x^(k+1)}*e^x+{(-1)^(2k+1)}*(k+1)*{x^k}*e^x
　　　　+{(-1)^(2k)}*(k+1)*k*{x^(k-1)}*e^x
　　　　+{(-1)^(2k-1)}*(k+1)*k*(k-1)*{x^(k-2)}*e^x+...
　　　　+{(-1)^(k+2)}*(k+1)!*x*e^x+{(-1)^(k+1)}*(k+1)!*e^x-(k+1)C
となります。ここで，1=(-1)^(2(k+1)) と書き換え，-(k+1)C は積分定数なので
改めて C とおくことにすれば n=k+1 のときにも (1) が成り立つことがわかります。

以上により，数学的帰納法により任意の非負整数 n に対して (1) が成り立つことが
示されました。