質問＜３３４４＞２００６／８／２７
from=maro
「漸化式」

質問〈２３９０〉の解答の中で
a(n+1)-2=√(a(n)+2)-2 
　ここで、分母分子に√(a(n)+2)+2を掛けると
        ={a(n)－2}/{√(a(n)+2)+2}
　√(a(n)+2)+2≧2より
　　　　≦{a(n)-2}／2　…①
よって、a(n)-2≦{a(n-1)-2}／2
　　　　　　　≦{a(n-2)-2}／2^2
              ≦{a(n-3)-2}／2^3
               ・・・・・・
　　　　　　　≦{a(1)-2}／2^(n-1)…②
とありますが、①までは理解できましたが、
②のa(n)-2≦{a(n-k)-2}／2^k(k=1,2,3…n-1)という計算式がどのように出てきた
のかがわかりませんので詳しく教えてください

★完全解答希望★

お便り２００６／８／２８
from=KINO

極限値があるとすればどのような値になるのかを予想してみます。
それには，極限値を x とおき，漸化式において n→∞ の極限をとり，
x=lim[n→∞]an+1=lim[n→∞]√(an+2)=√(x+c)
となることから，x≧0 でなければならないことに注意して，
両辺を2乗して得られる2次方程式
x2-x-2=0
の正の実数解 x=2 が極限値だとわかります。

ただし，上の議論はあくまでも「収束するとしたら極限値は 2」という収束することを
前提とした議論ですので，ちゃんと 2 に収束することを示さなければなりません。

それには lim[n→∞]|an-2|=0 となることを示せばよいので，
漸化式の両辺から 2 を引いてみます。
an+1-2=√(an+2)-2.
この右辺に (√(an+2)+2)/(√(an+2)+2) をかけると，
√(an+2)-2=(an-2)/(√(an+2)+2)
となります。
よって，
|an+1-2|=|an-2|/(√(an+2)+2)
となりますが，√は必ず 0 以上の値なので，右辺の分母は
√(an+2)+2≧2
という不等式をみたします。よって
|an+1-2|≦|an-2|/2
が n=1,2,... に対して成り立ちます。
この不等式を繰り返し用います。例えば，
|an-2|≦|an-1-2|/2
の右辺に
|an-1-2|≦|an-2-2|/2
を代入しても不等号の向きは変わらず，
|an-2|≦|an-2-2|/22
となります。さらにこの右辺に
|an-2-2|≦|an-3-2|/2
を代入して，
|an-2|≦|an-3-2|/23
といった具合です。こうして
|an-2|≦|a1-2|/2n-1=|c-2|/2n-1
という不等式が得られます。厳密にはこの不等式が成り立つことを n に関する
数学的帰納法で証明する必要があります。
あとは |c-2| の値が何であれ，lim[n→∞]|c-2|/2n=0 であることから，
0=lm[n→∞]0≦lm[n→∞]|an-2|≦lm[n→∞]|c-2|/2n-1=0
を得て，はさみうちの原理により lm[n→∞]|an-2|=0 が導かれます。