質問<3344>2006/8/27
質問〈2390〉の解答の中で a(n+1)-2=√(a(n)+2)-2 ここで、分母分子に√(a(n)+2)+2を掛けると ={a(n)-2}/{√(a(n)+2)+2} √(a(n)+2)+2≧2より ≦{a(n)-2}/2 …① よって、a(n)-2≦{a(n-1)-2}/2 ≦{a(n-2)-2}/2^2 ≦{a(n-3)-2}/2^3 ・・・・・・ ≦{a(1)-2}/2^(n-1)…② とありますが、①までは理解できましたが、 ②のa(n)-2≦{a(n-k)-2}/2^k(k=1,2,3…n-1)という計算式がどのように出てきた のかがわかりませんので詳しく教えてください ★完全解答希望★
お便り2006/8/28
from=KINO
極限値があるとすればどのような値になるのかを予想してみます。 それには,極限値を x とおき,漸化式において n→∞ の極限をとり, x=lim[n→∞]an+1=lim[n→∞]√(an+2)=√(x+c) となることから,x≧0 でなければならないことに注意して, 両辺を2乗して得られる2次方程式 x2-x-2=0 の正の実数解 x=2 が極限値だとわかります。 ただし,上の議論はあくまでも「収束するとしたら極限値は 2」という収束することを 前提とした議論ですので,ちゃんと 2 に収束することを示さなければなりません。 それには lim[n→∞]|an-2|=0 となることを示せばよいので, 漸化式の両辺から 2 を引いてみます。 an+1-2=√(an+2)-2. この右辺に (√(an+2)+2)/(√(an+2)+2) をかけると, √(an+2)-2=(an-2)/(√(an+2)+2) となります。 よって, |an+1-2|=|an-2|/(√(an+2)+2) となりますが,√は必ず 0 以上の値なので,右辺の分母は √(an+2)+2≧2 という不等式をみたします。よって |an+1-2|≦|an-2|/2 が n=1,2,... に対して成り立ちます。 この不等式を繰り返し用います。例えば, |an-2|≦|an-1-2|/2 の右辺に |an-1-2|≦|an-2-2|/2 を代入しても不等号の向きは変わらず, |an-2|≦|an-2-2|/22 となります。さらにこの右辺に |an-2-2|≦|an-3-2|/2 を代入して, |an-2|≦|an-3-2|/23 といった具合です。こうして |an-2|≦|a1-2|/2n-1=|c-2|/2n-1 という不等式が得られます。厳密にはこの不等式が成り立つことを n に関する 数学的帰納法で証明する必要があります。 あとは |c-2| の値が何であれ,lim[n→∞]|c-2|/2n=0 であることから, 0=lm[n→∞]0≦lm[n→∞]|an-2|≦lm[n→∞]|c-2|/2n-1=0 を得て,はさみうちの原理により lm[n→∞]|an-2|=0 が導かれます。