質問＜３３６３＞２００６／９／５
座標平面上の点（p,q）はx^2+y^2≦6,x≧0で表される領域を動く。 点(p+q,pq)の動く範囲を図示せよ。 (p+q,pq)よりp,qは実数であるから⇒ｙ≧1/4 x^2 x^2+y^2≦6より⇒y≧1/2 x^2 - 3 は出せたのですが、 x≧0の定義から何が出せるかわかりません。 すいませんが、宜しくお願いします。 ★完全解答希望★
お便り２００６／９／７
from=KINO
(p,q) に関する条件を 1. p は p≧0 なる実数かつ q は実数， かつ 2. p^2+q^2≦6 のふたつの条件に分けます。 x=p+q, y=pq とおくと，2 は x^2-2y≦6 と同値です。 1 の条件は次と同値です： 「t^2-xt+y=0 が 0 以上の実数解を少なくとも一つ持つ。」 これは y≦0 ならば常にみたされます。 次に y＞0 のとき，まず判別式が 0 以上より x^2-4y≧0 が得られます。 あとは解と係数の関係からふたつの解の積は y に等しく，それが 0 より大きいことから， ふたつの解の符号が一致することになるので，0 以上の解があるためには， ふたつの解の和が 0 以上でなければなりません。よって x≧0 となります。 というわけで，1 をみたす x, y の範囲は y≦0（y 軸よりも下の領域全部）または y＞0 かつ y≦x^2/4 かつ x≧0 となります。
お便り２００６／９／１１
from=なおひ
ＫＩＮＯさんへ 解答ありがとうございます。 ここで再質問させて頂きます。 p は p≧0 なる実数かつ q は実数が、 なぜ「t^2-xt+y=0 が 0 以上の実数解を少なくとも一つ持つ。」 と、同値であるかが解らないです。すいません・・・ 例えば、 p=1,q=-2のとき x=-1,y-=-2になったりすんですが・・・ 多分、初歩的な質問だと思いますが・・・ 宜しくお願いします。
お便り２００６／９／１４
from=KINO
まず， ＞ 例えば、 ＞ p=1,q=-2のとき ＞ x=-1,y-=-2になったりすんですが・・・ というコメントについては，僕には何が問題とされているのかよくわからないので お答えできません。 ごめんなさい。 ＞ p は p≧0 なる実数かつ q は実数が、 ＞ なぜ「t^2-xt+y=0 が 0 以上の実数解を少なくとも一つ持つ。」 ＞ と、同値であるかが解らないです。すいません・・・ x=p+q, y=pq とおくとき，例えば p, q が実数全体を動くとき， x と y は「同時に」どのような値を取り得るか， ということを考えます。 例えば x=1, y=2 となることがあるかを調べるには，1=p+q，2=pq をみたす実数 p, q を求めることになり， それは例えば q=1-p を 2=pq に代入して 2=p(1-p)，すなわち p^2-p+2=0 を解くことに なりますが， この方程式の判別式は負なので実数解 p は存在しません。よって (x,y)=(1,2) という点 は取りません。 この議論をふまえると，q=x-p を y=pq に代入して y=p(x-p) より p^2-xp+y=0 という p に関する2次方程式を導き， これが p≧0 なる解を持つための x, y の条件を求める必要があることがわかります。 同じ様に式変形すると，q も同じ形の方程式 q^2-xq+y=0 を満たしますので， 結局 t^2-xt+y=0 という方程式が 正の解を少なくともひとつ持つ条件を求めることになります。 なお，2次方程式の解と係数の関係を用いると，p, q は t^2-xt+y=0 という2次方程式の 解になることがわかります。 これはちょうど上で述べた方程式と同じものです。 ですから，上に述べたような考察を経ずに，いきなり t^2-xt+y=0 という方程式について 考えることもよくあり， 前回の僕の解説はその流儀に従っていたというわけです。