質問<3381>2006/9/12
次の質問よろしくお願いします。 (1)①1/7を小数で表せ。 ②有理数を小数であらわすと有限小数か循環す る無限小数のどちらかになることを説明せよ。 ★完全解答希望★
お便り2006/9/15
from=UnderBird
①を実際に割り算してみると、0.142857142857・・・ 142857を循環節とする無限小数になります。 ②①が参考になります。 7で割ると余りは、0,1,2,3,4,5,6のどれかで 余り0は、割り切れたということ。 もし割り切れなければ余りは1,2,3,4,5,6のどれかで すが、計算を6回以上繰り返せばこれらの余りのどれ かに一致しなければならず、結局同じ余りの繰り返 しが起こる、すなわち無限循環小数になるというとです。 また、ほぼ明らかですが、割り切れる場合は分母が2か5の場合ですよね。 よって、分母が(2^m)(5^n)の形 ただし、m,nは0以上の整数 の場合に有限小数となります。
お便り2006/9/16
from=下野哲史
(1) ・ ・ 0.142857 (2) 分母が 2^(n) × 5^(m) ( n,m は 0以上の整数 ) であれば 有限小数であることは明らか。(この後が本題であるはず。そのため省略します。) それ以外の分母の場合は無限小数となる。 この無限小数が必ず循環小数となることを示す。 すべての有理数が 1/9=0.1111… 1/99=0.010101… 1/999=0.001001… のような 1/(10^(n)-1) と整数との積かまたは 1/((10^n-1)*10^m) と整数との積で表せることを示せば、 例えば 0.121212… ならば 12×1/99 と表せることが分かる。 また、0.0121212… ならば 12×1/990 と表せる。 つまり、分母分子に共通の数をかけることで 分母が 10^(n)-1 または (10^n-1)*10^m になることを示せばよい。 分母が偶数や5の倍数ならば、それぞれ 5や2を分母 分子にかけることで、10^m の因数が出来るため、 偶数と5の倍数以外の任意の整数が 10^n-1 の 形の倍数をもつことを示す。 偶数と5の倍数以外の任意の整数を p とおく。 ここで p 個の箱を用意し、ぞれぞれに 0,1,2,…p-1 の番号をつけておく。 この箱に p+1 通りの以下の割り算 1÷p , 11÷p , 111÷ p, … ,(11…1)÷p の余りを、その番号がつけられた箱に入れていく。 すると、少なくとも1つの箱には2つ以上の数 が入っている。 その中の2つの割り算を x÷p , y÷ p (x>y) とすると 、 x-y は p で割ったときの余りが等しいため、x-y は p で割り切れる。 ここで、x-y は上位の位の数は 11…1 であり、下位の位の数は 00…0 である。 ところが、p は 2と5の倍数でないため、この上位の位の数11…1 は p の倍数であることが分かる。 つまり、p の倍数の中に 11…1 という数が必ず存在する。 それを 9 倍すれば 99…9 であるため、 任意の p は 10^(n)-1 という倍数を持つことが分かった。 鳩ノ巣原理を用いています。 もっと簡単な方法があると思いますが、 こんな方法しか思いつきませんでした。