質問＜３４０３＞２００６／９／２０
直線ｌｍ：y=mxと曲線Cm:y=mx+sin(x)（0＝＜ｘ＝＜π,ｍは自然数）について 以下に答えよ （１）曲線Cm上の点P（t,mt+sin(t)）を通り直線lmに垂直な直線がlmと交わる点を Hとするとき,線分PH,及びOH（Oは原点）の長さを求めよ. （２）lmとCmで囲まれる図形を直線lmの周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ. という問題なのですが、私には難しくて解答できませんでした。 どうかよろしくお願いします。 ★完全解答希望★
お便り２００６／９／２６
from=平 昭
＜解答＞
こんにちは。（１）はきれいに図を描いてみれば自然に分かると思いますが、
（２）が難しかったのではないでしょうか。
「ある直線の回りに曲線を回転させてできる立体の体積」の求め方が問題ですね。
実は、考え方を知っていれば簡単です。できた立体を、直線に垂直な平面で切ると、
切り口は当然、円になります。この円の面積を、直線に添った方向に積分すれば体積が
出てきます。（どうしてこうなるのか、自分で図を描いて考えてみて下さい。）
（１）は、切り口となる円の半径と、切り口と直線との交点の、原点（積分区間の
始まるところ、つまりできた立体の端）からの距離、を求めさせる内容です。
これは（２）を解くための準備作業です。準備がどう生きるかは、
下に書いた解答を見て下さい。
ところで、ｍが自然数、という条件はどこで生きてくるのでしょう。
問題は解けたはずですが、わかりませんでした。
ｍ＞０、という意味でなら、途中で使ったのですけれど。
【（１）の回答】
直線ｌｍ上に、点Ｑ（t,mt)を取る。また、ＱからＸ軸におろした垂線の足をＲ（t,0）
とする。
この時、図を描いてみれば明らかに、△ＰＱＨは△ＰＯＲと相似。
（ていねいに言えば、直角以外の角が等しい直角三角形どうしだから。）
よってＰＨ＝ＰＱ・1/√（m^2+1）
ＱＨ＝ＰＱ・m/√（m^2+1）
ここで、ＰＱ＝sint、ＯＨ＝ＯＱ＋ＱＨを考えて
求める答えは
ＰＨ＝sint/√（m^2＋１）
ＯＨ＝{t√（m^2＋１）}＋{sint・m/√（m^2＋１）}
【（２)の回答】
求める立体の体積をＶとする。また、座標が（π、ｍπ）である点をＴと名付ける。
この時、
Ｖ＝π∫（ＰＨ）^2・ｄ（ＯＨ）（積分区間はＯＨ＝０から、ＯＨ＝ＯＴまで）、、、★
（冒頭で示した考え方を、式で表すとこうなる。
ここでは、ＰＨをＯＨの関数とみている。）
＝π∫（ＰＨ）^2・{ｄ（ＯＨ）/dt} dt（積分区間はｔ＝０からｔ＝πまで）、、★★
(計算しやすいよう、積分変数をtに変える。ＰＨはｔの関数とみる。)
ここで、
ｄ（ＯＨ）/dt＝√（m^2＋１）＋{cosｔ・m/√（m^2＋１)}
∫(sin^2)t・costdt＝{(sin^3)t}/3（積分定数省略）で、右辺はｔ＝０とｔ＝πで０と
なることを考えて計算すれば、積分記号の中の第２項は消えて
Ｖ＝π∫(sin^2)t/√（m^2＋１）dt(０からπまで)
＝π∫(１－cos2t)/２√（m^2＋１）dt(０からπまで)
＝π^2/２√（m^2＋１）
★と★★の式がポイント。後は計算問題です。