質問<3403>2006/9/20
直線lm:y=mxと曲線Cm:y=mx+sin(x)(0=<x=<π,mは自然数)について 以下に答えよ (1)曲線Cm上の点P(t,mt+sin(t))を通り直線lmに垂直な直線がlmと交わる点を Hとするとき,線分PH,及びOH(Oは原点)の長さを求めよ. (2)lmとCmで囲まれる図形を直線lmの周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ. という問題なのですが、私には難しくて解答できませんでした。 どうかよろしくお願いします。 ★完全解答希望★
お便り2006/9/26
from=平 昭
<解答> こんにちは。(1)はきれいに図を描いてみれば自然に分かると思いますが、 (2)が難しかったのではないでしょうか。 「ある直線の回りに曲線を回転させてできる立体の体積」の求め方が問題ですね。 実は、考え方を知っていれば簡単です。できた立体を、直線に垂直な平面で切ると、 切り口は当然、円になります。この円の面積を、直線に添った方向に積分すれば体積が 出てきます。(どうしてこうなるのか、自分で図を描いて考えてみて下さい。) (1)は、切り口となる円の半径と、切り口と直線との交点の、原点(積分区間の 始まるところ、つまりできた立体の端)からの距離、を求めさせる内容です。 これは(2)を解くための準備作業です。準備がどう生きるかは、 下に書いた解答を見て下さい。 ところで、mが自然数、という条件はどこで生きてくるのでしょう。 問題は解けたはずですが、わかりませんでした。 m>0、という意味でなら、途中で使ったのですけれど。 【(1)の回答】 直線lm上に、点Q(t,mt)を取る。また、QからX軸におろした垂線の足をR(t,0) とする。 この時、図を描いてみれば明らかに、△PQHは△PORと相似。 (ていねいに言えば、直角以外の角が等しい直角三角形どうしだから。) よってPH=PQ・1/√(m^2+1) QH=PQ・m/√(m^2+1) ここで、PQ=sint、OH=OQ+QHを考えて 求める答えは PH=sint/√(m^2+1) OH={t√(m^2+1)}+{sint・m/√(m^2+1)} 【(2)の回答】 求める立体の体積をVとする。また、座標が(π、mπ)である点をTと名付ける。 この時、 V=π∫(PH)^2・d(OH)(積分区間はOH=0から、OH=OTまで)、、、★ (冒頭で示した考え方を、式で表すとこうなる。 ここでは、PHをOHの関数とみている。) =π∫(PH)^2・{d(OH)/dt} dt(積分区間はt=0からt=πまで)、、★★ (計算しやすいよう、積分変数をtに変える。PHはtの関数とみる。) ここで、 d(OH)/dt=√(m^2+1)+{cost・m/√(m^2+1)} ∫(sin^2)t・costdt={(sin^3)t}/3(積分定数省略)で、右辺はt=0とt=πで0と なることを考えて計算すれば、積分記号の中の第2項は消えて V=π∫(sin^2)t/√(m^2+1)dt(0からπまで) =π∫(1-cos2t)/2√(m^2+1)dt(0からπまで) =π^2/2√(m^2+1) ★と★★の式がポイント。後は計算問題です。