質問<3439>2006/10/20
(1)√6は無理数であることを示せ。 (2)x、yを有理数とするとき x√2+y√3=0 であるなら、 x=y=0であることを示せ。 ★希望★完全解答★
お便り2006/10/22
from=wakky
(1) √6が有理数であると仮定する。 √6=n/m(mとnは互いに素な整数でm≠0)とおくことができる。 n=m・√6より n^2=6m^2・・・① 6m^2は偶数だからn^2は偶数である。 奇数の平方は奇数だから、nは偶数でなければならない。 ここで、n=2k(kは整数)とおくと①より 4k^2=6m^2 2k^2=3m^2 左辺は偶数であるから、m^2は偶数でなければならない。 したがって、mも偶数でなければならない。 以上から、m,nがともに偶数であることになり mとnは互いに素であることに矛盾する。 ゆえに、√6が有理数であると仮定したことは誤りである。 よって、√6は無理数である。 (2) x・√2+y・√3=0の両辺に√3をかけると x・√6+3y=0 もしx≠0ならば √6=(-3y)/x・・・② ②の右辺は有理数だから√6が無理数であることに矛盾する。 よってx=0でなければならない。 このとき3y=0よりy=0 以上から x=y=0である。