質問＜３４３９＞２００６／１０／２０
from=はな
「証明」

（１）√６は無理数であることを示せ。
（２）ｘ、ｙを有理数とするとき　ｘ√２＋ｙ√３＝０　であるなら、
　　　ｘ＝ｙ＝０であることを示せ。 

★希望★完全解答★

お便り２００６／１０／２２
from=wakky

（１）
√６が有理数であると仮定する。
√６＝ｎ／ｍ（ｍとｎは互いに素な整数でｍ≠０）とおくことができる。
ｎ＝ｍ・√６より
ｎ^2＝６ｍ^2・・・①
６ｍ^2は偶数だからｎ^2は偶数である。
奇数の平方は奇数だから、ｎは偶数でなければならない。
ここで、ｎ＝２ｋ（ｋは整数）とおくと①より
４ｋ^2＝６ｍ^2
２ｋ^2＝３ｍ^2
左辺は偶数であるから、ｍ^2は偶数でなければならない。
したがって、ｍも偶数でなければならない。
以上から、ｍ，ｎがともに偶数であることになり
ｍとｎは互いに素であることに矛盾する。
ゆえに、√６が有理数であると仮定したことは誤りである。
よって、√６は無理数である。

（２）
ｘ・√２＋ｙ・√３＝０の両辺に√３をかけると
ｘ・√６＋３ｙ＝０
もしｘ≠０ならば
√６＝（－３ｙ）／ｘ・・・②
②の右辺は有理数だから√６が無理数であることに矛盾する。
よってｘ＝０でなければならない。
このとき３ｙ＝０よりｙ＝０
以上から
ｘ＝ｙ＝０である。